Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 3546
2017-06-03 
Планета А движется по эллиптической орбите вокруг Солнца. В момент, когда она находилась на расстоянии $r_{0}$ от Солнца, ее скорость равнялась $v_{0}$ и угол между радиус-вектором $\vec{r}_{0}$ и вектором скорости $\vec{v}_{0}$ составлял $\alpha$. Найти наибольшее и наименьшее расстояния, на которые удаляется от Солнца эта планета при своем движении. д
Решение:
Из закона сохранения углового момента вокруг Солнца.
$mv_{0}r_{0} \sin \alpha = mv_{1} r_{1} = mv_{2}r_{2}$ or, $v_{1}r_{1} = v_{2}r_{2} = v_{0} r_{2} \sin \alpha$ (1)
Из закона сохранения механической энергии,
$\frac{1}{2} mv_{0}^{2} - \frac{ \gamma m_{s}m}{r_{0}} = \frac{1}{2} mv_{1}^{2} - \frac{ \gamma m_{s}m}{r_{1}}$
или, $\frac{v_{0}^{2}}{2} - \frac{ \gamma m_{s}}{r_{0}} = \frac{v_{0}^{2}r_{0}^{2} \sin^{2} \alpha}{2r_{1}^{2}} - \frac{ \gamma m_{s}}{r_{1}}$ (USin§ 1)
или, $\left ( v_{0}^{2} - \frac{2 \gamma m_{s}}{r_{0}} \right ) r_{1}^{2} + 2 \gamma m_{s} r_{1} - v_{0}^{2} r_{0}^{2} \sin \alpha = 0$
Итак, $r_{1} = \frac{ - 2 \gamma m_{s} \pm \sqrt{4 \gamma^{2} m_{s}^{2} + 4 ( v_{0}^{2} r_{0}^{2} \sin^{2} \alpha) \left ( v_{0}^{2} - \frac{2 \gamma m_{s}}{r_{0}} \right )}}{ 2 \left ( v_{0}^{2} - \frac{2 \gamma m_{s}}{r_{0}} \right )} = \frac{ 1 \pm \sqrt{1 - \frac{}{} \left ( \frac{2}{r_{0}} - \frac{v_{0}^{2}}{rm_{s}} \right ) }}{ \left ( \frac{2}{r_{0}} - \frac{v_{0}}{ \gamma m_{s}} \right ) } = \frac{r_{0} [1 \pm \sqrt{1 - (2 - \eta) \eta \sin^{2} \alpha }]}{(2 - \eta)}$
Где $\eta = v_{0}^{2} r_{0} / \gamma m_{s}$. ($m_{s}$ - масса Солнца).
Планета А движется по эллиптической орбите вокруг Солнца. В момент, когда она находилась на расстоянии $r_{0}$ от Солнца, ее скорость равнялась $v_{0}$ и угол между радиус-вектором $\vec{r}_{0}$ и вектором скорости $\vec{v}_{0}$ составлял $\alpha$. Найти наибольшее и наименьшее расстояния, на которые удаляется от Солнца эта планета при своем движении. д
Решение:
Из закона сохранения углового момента вокруг Солнца.
$mv_{0}r_{0} \sin \alpha = mv_{1} r_{1} = mv_{2}r_{2}$ or, $v_{1}r_{1} = v_{2}r_{2} = v_{0} r_{2} \sin \alpha$ (1)
Из закона сохранения механической энергии,
$\frac{1}{2} mv_{0}^{2} - \frac{ \gamma m_{s}m}{r_{0}} = \frac{1}{2} mv_{1}^{2} - \frac{ \gamma m_{s}m}{r_{1}}$
или, $\frac{v_{0}^{2}}{2} - \frac{ \gamma m_{s}}{r_{0}} = \frac{v_{0}^{2}r_{0}^{2} \sin^{2} \alpha}{2r_{1}^{2}} - \frac{ \gamma m_{s}}{r_{1}}$ (USin§ 1)
или, $\left ( v_{0}^{2} - \frac{2 \gamma m_{s}}{r_{0}} \right ) r_{1}^{2} + 2 \gamma m_{s} r_{1} - v_{0}^{2} r_{0}^{2} \sin \alpha = 0$
Итак, $r_{1} = \frac{ - 2 \gamma m_{s} \pm \sqrt{4 \gamma^{2} m_{s}^{2} + 4 ( v_{0}^{2} r_{0}^{2} \sin^{2} \alpha) \left ( v_{0}^{2} - \frac{2 \gamma m_{s}}{r_{0}} \right )}}{ 2 \left ( v_{0}^{2} - \frac{2 \gamma m_{s}}{r_{0}} \right )} = \frac{ 1 \pm \sqrt{1 - \frac{}{} \left ( \frac{2}{r_{0}} - \frac{v_{0}^{2}}{rm_{s}} \right ) }}{ \left ( \frac{2}{r_{0}} - \frac{v_{0}}{ \gamma m_{s}} \right ) } = \frac{r_{0} [1 \pm \sqrt{1 - (2 - \eta) \eta \sin^{2} \alpha }]}{(2 - \eta)}$
Где $\eta = v_{0}^{2} r_{0} / \gamma m_{s}$. ($m_{s}$ - масса Солнца).
