Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 3545
2017-06-03 
Доказать с помощью законов сохранения, что полная механическая энергия планеты массы $m$, движущейся вокруг Солнца по эллипсу, зависит только от его большой полуоси $a$. Найти формулу зависимости этой энергии от $a$.
Решение:
Из задачи 3544, если $r_{1}, r_{2}$ - максимальное и минимальное расстояние от Солнца до планеты, $v_{1}, v_{2}$ - соответствующие скорости, то,
$E = \frac{1}{2} mv_{2}^{2} - \frac{ \gamma mm_{s}}{r_{2}} = \frac{ \gamma mm_{s}}{r_{1} + r_{2}} \frac{r_{1}}{r_{2}} - \frac{ \gamma mm_{s}}{r_{2}} = - \frac{ \gamma mm_{s}}{r_{1} + r_{2}} = - \frac{ \gamma mm_{s}}{2a}$ [Используя уравнение (2) из 3544]
Где $2d = ~основная ~ось~ = r_{1} + r_{2}$. Тот же результат можно также получить непосредственно, написав уравнение, аналогичное уравнению (1) задачи 3459.
$E = \frac{1}{2} m \dot{r}^{2} + \frac{M^{2}}{2mr^{2}} - \frac{ \gamma mm_{s}}{r}$
(Здесь $M$ - угловой момент планеты, $m$ - его масса). Для крайнего положения $\dot{r} = 0$ и получаем квадратное уравнение
$Er^{2} + \gamma mm_{s} r - \frac{M^{2}}{2m} = 0$
Сумма двух корней этого уравнения равна
$r_{1} + r_{2} = - \frac{ \gamma mm_{s}}{E} = 2a$
Таким образом, $E = - \frac{ \gamma mm_{s}}{2a} = const$
Доказать с помощью законов сохранения, что полная механическая энергия планеты массы $m$, движущейся вокруг Солнца по эллипсу, зависит только от его большой полуоси $a$. Найти формулу зависимости этой энергии от $a$.
Решение:
Из задачи 3544, если $r_{1}, r_{2}$ - максимальное и минимальное расстояние от Солнца до планеты, $v_{1}, v_{2}$ - соответствующие скорости, то,
$E = \frac{1}{2} mv_{2}^{2} - \frac{ \gamma mm_{s}}{r_{2}} = \frac{ \gamma mm_{s}}{r_{1} + r_{2}} \frac{r_{1}}{r_{2}} - \frac{ \gamma mm_{s}}{r_{2}} = - \frac{ \gamma mm_{s}}{r_{1} + r_{2}} = - \frac{ \gamma mm_{s}}{2a}$ [Используя уравнение (2) из 3544]
Где $2d = ~основная ~ось~ = r_{1} + r_{2}$. Тот же результат можно также получить непосредственно, написав уравнение, аналогичное уравнению (1) задачи 3459.
$E = \frac{1}{2} m \dot{r}^{2} + \frac{M^{2}}{2mr^{2}} - \frac{ \gamma mm_{s}}{r}$
(Здесь $M$ - угловой момент планеты, $m$ - его масса). Для крайнего положения $\dot{r} = 0$ и получаем квадратное уравнение
$Er^{2} + \gamma mm_{s} r - \frac{M^{2}}{2m} = 0$
Сумма двух корней этого уравнения равна
$r_{1} + r_{2} = - \frac{ \gamma mm_{s}}{E} = 2a$
Таким образом, $E = - \frac{ \gamma mm_{s}}{2a} = const$
