ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2017-06-03   
Планета массы $m$ движется по эллипсу вокруг Солнца так, что наибольшее и наименьшее расстояния ее от Солнца равны соответственно $r_{1}$ и $r_{2}$. Найти момент импульса $M$ этой планеты относительно центра Солнца.


Решение:


Поскольку на планету действует центральная сила (гравитационное взаимодействие), ее угловой момент сохраняется относительно Солнца (который находится в одной из фокусов эллипса)

Итак, $mv_{1}r_{1} = mv_{2}r_{2}$ или, $v_{1}^{2} = \frac{v_{2}^{2}r_{2}^{2}}{r_{1}^{2}}$ (1)

Из закона сохранения механической энергии системы (Солнце + планета)

$- \frac{ \gamma m_{s}m}{r_{1}} + \frac{1}{2} mv_{1}^{2} = - \frac{ \gamma m_{s}m}{r_{2}} + \frac{1}{2} mv_{2}^{2}$

Таким образом, $- \frac{ \gamma m_{s}}{r_{1}} + \frac{1}{2} v_{2}^{2} \frac{r_{2}^{2}}{r_{1}^{2}} = - \left ( \frac{ \gamma m_{s}}{r_{2}} \right ) + \frac{1}{2} v_{2}^{2}$ [Используя 1]

Следовательно, $v_{2} = \sqrt{2 \gamma m_{s} r_{1} / r_{2}(r_{1} + r_{2})}$ (2)

Откуда, $M = mv_{2}r_{2} = m \sqrt{2 \gamma m_{s} r_{1}r_{2} / (r_{1} + r_{2})}$