Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 3537
2017-05-27 
Точечный заряд $Q = - 2 \cdot 10^{-10} Кл$ расположен на продолжении оси диполя, электрический момент которого $p_{e} = 1,5 \cdot 10^{-10} Кл \cdot м$, на расстоянии $r = 10 см$ от его центра (ближе к положительному заряду диполя). Какую работу надо совершить, чтобы перенести этот заряд в симметрично расположенную точку по другую сторону диполя? Плечо диполя $l \ll r$ (рис.).
Решение:
Работа $A^{*}$, совершаемая внешними силами при перемещении заряда в кулоновском поле, равна работе сил поля, взятой с обратным знаком:
$A^{*} = - A = -Q ( \phi_{1} - \phi_{2})$,
где $\phi_{1}$, и $\phi_{2}$ — потенциалы соответственно начальной и конечной точек.
Для того чтобы определить знак работы внешних сил, надо выяснить направление силовых линий поля. Как видно из рис., при движении заряда по любой траектории из точки 1 по направлению к положительному заряду диполя и от его отрицательного заряда к точке 2 заряд $Q$ перемещается против силовых линий поля, т. е. под действием кулоновских сил (силы, действующие на отрицательный заряд, направлены против вектора $\vec{E}$). Следовательно, на указанных участках работа внешних сил отрицательна. На участке между зарядами диполя при любой траектории заряд $Q$ перемещается по силовой линии, т. е. против сил кулоновского поля, и работа внешних сил положительна. Таким образом, определить знак работы из качественного рассмотрения трудно.
Поле создается двумя точечными зарядами $+ q$ и $- q$ диполя, и потенциалы точек 1 и 2 следует искать методом суперпозиции. Как видно из рисунка, точка 1 находится на расстоянии $r - l/2$ от положительного заряда и на расстоянии $r + l/2$ от отрицательного заряда. В соответствии с этим
$\phi_{1} = \frac{q}{4 \pi \epsilon_{0} (r - l/2)} - \frac{q}{4 \pi \epsilon_{0} (r + l/2)}$. (2)
Аналогично,
$\phi_{2} = \frac{q}{4 \pi \epsilon_{0} (r + l/2)} - \frac{q}{4 \pi \epsilon_{0} (r - l/2)}$. (3)
Приведем к общему знаменателю каждое из выражений (2) и (3):
$\phi_{1} = \frac{1}{4 \pi \epsilon_{0}} \frac{l}{r^{2} [1 - l^{2}/(4r^{2})]}$, (4)
$\phi_{2} = - \frac{1}{4 \pi \epsilon_{0}} \frac{l}{r^{2} [1 - l^{2}/(4r^{2})]}$, (5)
Если учесть, что $ql = p_{e}$ и при $r \gg l$ членами $i^{2}/(4r^{2})$ можно пренебречь по сравнению с единицей, то выражения (4), (5) примут вид
$\phi_{1} = p_{e}/(4 \pi \epsilon_{0} r^{2}), \phi_{2} = - p_{e}/(4 \pi \epsilon_{0} r^{2})$.
Подставляя эти выражения в уравнение (1), получаем
$A^{*} = - 2Q p_{e}/(4 \pi \epsilon_{0} r^{2}) = 5,4 \cdot 10^{-8} Дж$.
Необходимо отметить, что пренебрежение членами $l/(2r)$ по сравнению с единицей в выражениях (2) и (3), если предварительно вынести в знаменателе $r$ за скобки, дает $\phi_{1} = \phi_{2} = 0$. Чтобы выяснить, какой величиной можно пренебрегать, проведем все рассуждения совершенно строго, не прибегая, как правило, к ним в дальнейшем. Введя обозначение $l/(2r) = x$, разложим функцию $f(x) = 1/(1 + x)$ в ряд Маклорена:
$f(x) = f(0) + \frac{x}{1!} f^{ \prime} (0) + \frac{x^{2}}{2!} f^{ \prime \prime} (0) + \cdots $.
Для рассматриваемой функции ряд примет вид
$\frac{1}{1+x} = 1 - x + x^{2} - x^{3} + \cdots$.
Отбрасывание всех членов начиная с $x = l/(2r)$ есть нулевое приближение, при котором диполь поля не создает. Отбрасывание всех членов начиная с $x^{2} = l^{2}/(4r^{2})$ есть первое приближение, которое обычно используется при расчете напряженности поля диполя.
Точечный заряд $Q = - 2 \cdot 10^{-10} Кл$ расположен на продолжении оси диполя, электрический момент которого $p_{e} = 1,5 \cdot 10^{-10} Кл \cdot м$, на расстоянии $r = 10 см$ от его центра (ближе к положительному заряду диполя). Какую работу надо совершить, чтобы перенести этот заряд в симметрично расположенную точку по другую сторону диполя? Плечо диполя $l \ll r$ (рис.).
Решение:
Работа $A^{*}$, совершаемая внешними силами при перемещении заряда в кулоновском поле, равна работе сил поля, взятой с обратным знаком:
$A^{*} = - A = -Q ( \phi_{1} - \phi_{2})$,
где $\phi_{1}$, и $\phi_{2}$ — потенциалы соответственно начальной и конечной точек.
Для того чтобы определить знак работы внешних сил, надо выяснить направление силовых линий поля. Как видно из рис., при движении заряда по любой траектории из точки 1 по направлению к положительному заряду диполя и от его отрицательного заряда к точке 2 заряд $Q$ перемещается против силовых линий поля, т. е. под действием кулоновских сил (силы, действующие на отрицательный заряд, направлены против вектора $\vec{E}$). Следовательно, на указанных участках работа внешних сил отрицательна. На участке между зарядами диполя при любой траектории заряд $Q$ перемещается по силовой линии, т. е. против сил кулоновского поля, и работа внешних сил положительна. Таким образом, определить знак работы из качественного рассмотрения трудно.
Поле создается двумя точечными зарядами $+ q$ и $- q$ диполя, и потенциалы точек 1 и 2 следует искать методом суперпозиции. Как видно из рисунка, точка 1 находится на расстоянии $r - l/2$ от положительного заряда и на расстоянии $r + l/2$ от отрицательного заряда. В соответствии с этим
$\phi_{1} = \frac{q}{4 \pi \epsilon_{0} (r - l/2)} - \frac{q}{4 \pi \epsilon_{0} (r + l/2)}$. (2)
Аналогично,
$\phi_{2} = \frac{q}{4 \pi \epsilon_{0} (r + l/2)} - \frac{q}{4 \pi \epsilon_{0} (r - l/2)}$. (3)
Приведем к общему знаменателю каждое из выражений (2) и (3):
$\phi_{1} = \frac{1}{4 \pi \epsilon_{0}} \frac{l}{r^{2} [1 - l^{2}/(4r^{2})]}$, (4)
$\phi_{2} = - \frac{1}{4 \pi \epsilon_{0}} \frac{l}{r^{2} [1 - l^{2}/(4r^{2})]}$, (5)
Если учесть, что $ql = p_{e}$ и при $r \gg l$ членами $i^{2}/(4r^{2})$ можно пренебречь по сравнению с единицей, то выражения (4), (5) примут вид
$\phi_{1} = p_{e}/(4 \pi \epsilon_{0} r^{2}), \phi_{2} = - p_{e}/(4 \pi \epsilon_{0} r^{2})$.
Подставляя эти выражения в уравнение (1), получаем
$A^{*} = - 2Q p_{e}/(4 \pi \epsilon_{0} r^{2}) = 5,4 \cdot 10^{-8} Дж$.
Необходимо отметить, что пренебрежение членами $l/(2r)$ по сравнению с единицей в выражениях (2) и (3), если предварительно вынести в знаменателе $r$ за скобки, дает $\phi_{1} = \phi_{2} = 0$. Чтобы выяснить, какой величиной можно пренебрегать, проведем все рассуждения совершенно строго, не прибегая, как правило, к ним в дальнейшем. Введя обозначение $l/(2r) = x$, разложим функцию $f(x) = 1/(1 + x)$ в ряд Маклорена:
$f(x) = f(0) + \frac{x}{1!} f^{ \prime} (0) + \frac{x^{2}}{2!} f^{ \prime \prime} (0) + \cdots $.
Для рассматриваемой функции ряд примет вид
$\frac{1}{1+x} = 1 - x + x^{2} - x^{3} + \cdots$.
Отбрасывание всех членов начиная с $x = l/(2r)$ есть нулевое приближение, при котором диполь поля не создает. Отбрасывание всех членов начиная с $x^{2} = l^{2}/(4r^{2})$ есть первое приближение, которое обычно используется при расчете напряженности поля диполя.
