Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 3536
2017-05-27 
В одной плоскости с очень длинной нитью, равномерно заряженной с линейной плотностью $\tau = 2 \cdot 10^{-6} Кл/м$, под углом $\alpha = 30^{ \circ}$ к нити расположен тонкий стержень длины $l = 12 см$, по которому равномерно распределен заряд $q = 3 \cdot 10^{-9} Кл$ (рис.). Расстояние от нити до середины стержня $x_{0} = 8 см$. Найти силу, действующую на стержень, и ее предельные значения при $\alpha = 0$ и $\alpha = \pi /2$.
Решение:
Рассматривается равномерно заряженный стержень, находящийся в поле длинной нити. Поле нити плоскорадиально, вектор $\vec{E}$ направлен по радиусу, и его проекция на радиальное направление
$E_{r} = \tau /(2 \pi \epsilon_{0} r)$.
(Формула может быть получена с помощью теоремы Гаусса.)
Поскольку напряженность поля зависит от расстояния $r$, а стержень расположен под углом к нити, то следует сначала записать выражение силы, действующей на элементарный участок стержня с зарядом $dq$:
$d \vec{F} = \vec{E} dq$.
Стержень находится в одной плоскости с нитью, совпадающей с плоскостью чертежа. В этой плоскости силовые линии поля параллельны друг другу, значит, все элементарные силы $d \vec{F}$ направлены так же, поэтому и результирующая сила
$F = \int_{(l)} d \vec{F}$ (1)
направлена так же, как силовые линии поля.
Для расчета введем ось ОХ так, как показано на рис.. Элемент длины стержня $dl = dx/ \sin \alpha$. Заряд
$dq = \frac{q}{l} dx \frac{1}{ \sin \alpha }$.
Расстояние от нити до рассматриваемого элемента $r = x$, тогда сила, действующая на такой элемент,
$dF = \frac{ \tau}{2 \pi \epsilon_{0} x} \frac{q}{ l \sin \alpha} dx$. (2)
При интегрировании по всей длине стержня координата х изменяется от $x_{0} - (l/2) \sin \alpha$ до $x_{0} + (l/2) \sin \alpha$.
Подставляя выражение (2) в (1) с учетом указанных пределов изменения переменной х, получаем
$F = \frac{ \tau q}{4 \pi \epsilon_{0} l \sin \alpha} \int_{x_{0} - (l/2) \sin \alpha}^{x_{0} + (l/2) \sin \alpha} \frac{dx}{x} = \frac{ \tau q}{2 \pi \epsilon_{0} l \sin \alpha} ln \frac{x_{0} + (l/2) \sin \alpha}{x_{0} - (l/2) \sin \alpha}$. (3)
При $\alpha = 30^{ \circ} F = 1,42 \cdot 10^{-3} Н$.
При $\alpha = 90^{ \circ} F_{1} = 1,75 \cdot 10^{-3} Н$.
При $\alpha = 0$ стержень расположен параллельно нити, напряженность поля вдоль стержня одинакова: $E_{r} = \tau /(2 \pi \epsilon_{0} x_{0})$. Сила, действующая на стержень,
$F_{2} = E_{r} q = \frac{\tau q}{2 \pi \epsilon_{0} x_{0}} = 1,35 \cdot 10^{-3} Н$.
Последнее выражение может быть получено также из формулы (3) при разложении натурального логарифма в ряд с последующим предельным переходом к $\alpha \rightarrow 0$.
В одной плоскости с очень длинной нитью, равномерно заряженной с линейной плотностью $\tau = 2 \cdot 10^{-6} Кл/м$, под углом $\alpha = 30^{ \circ}$ к нити расположен тонкий стержень длины $l = 12 см$, по которому равномерно распределен заряд $q = 3 \cdot 10^{-9} Кл$ (рис.). Расстояние от нити до середины стержня $x_{0} = 8 см$. Найти силу, действующую на стержень, и ее предельные значения при $\alpha = 0$ и $\alpha = \pi /2$.
Решение:
Рассматривается равномерно заряженный стержень, находящийся в поле длинной нити. Поле нити плоскорадиально, вектор $\vec{E}$ направлен по радиусу, и его проекция на радиальное направление
$E_{r} = \tau /(2 \pi \epsilon_{0} r)$.
(Формула может быть получена с помощью теоремы Гаусса.)
Поскольку напряженность поля зависит от расстояния $r$, а стержень расположен под углом к нити, то следует сначала записать выражение силы, действующей на элементарный участок стержня с зарядом $dq$:
$d \vec{F} = \vec{E} dq$.
Стержень находится в одной плоскости с нитью, совпадающей с плоскостью чертежа. В этой плоскости силовые линии поля параллельны друг другу, значит, все элементарные силы $d \vec{F}$ направлены так же, поэтому и результирующая сила
$F = \int_{(l)} d \vec{F}$ (1)
направлена так же, как силовые линии поля.
Для расчета введем ось ОХ так, как показано на рис.. Элемент длины стержня $dl = dx/ \sin \alpha$. Заряд
$dq = \frac{q}{l} dx \frac{1}{ \sin \alpha }$.
Расстояние от нити до рассматриваемого элемента $r = x$, тогда сила, действующая на такой элемент,
$dF = \frac{ \tau}{2 \pi \epsilon_{0} x} \frac{q}{ l \sin \alpha} dx$. (2)
При интегрировании по всей длине стержня координата х изменяется от $x_{0} - (l/2) \sin \alpha$ до $x_{0} + (l/2) \sin \alpha$.
Подставляя выражение (2) в (1) с учетом указанных пределов изменения переменной х, получаем
$F = \frac{ \tau q}{4 \pi \epsilon_{0} l \sin \alpha} \int_{x_{0} - (l/2) \sin \alpha}^{x_{0} + (l/2) \sin \alpha} \frac{dx}{x} = \frac{ \tau q}{2 \pi \epsilon_{0} l \sin \alpha} ln \frac{x_{0} + (l/2) \sin \alpha}{x_{0} - (l/2) \sin \alpha}$. (3)
При $\alpha = 30^{ \circ} F = 1,42 \cdot 10^{-3} Н$.
При $\alpha = 90^{ \circ} F_{1} = 1,75 \cdot 10^{-3} Н$.
При $\alpha = 0$ стержень расположен параллельно нити, напряженность поля вдоль стержня одинакова: $E_{r} = \tau /(2 \pi \epsilon_{0} x_{0})$. Сила, действующая на стержень,
$F_{2} = E_{r} q = \frac{\tau q}{2 \pi \epsilon_{0} x_{0}} = 1,35 \cdot 10^{-3} Н$.
Последнее выражение может быть получено также из формулы (3) при разложении натурального логарифма в ряд с последующим предельным переходом к $\alpha \rightarrow 0$.
