Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 3535
2017-05-27 
В вакууме имеется скопление зарядов в форме длинного цилиндра радиуса $R_{0} = 2 см$ (рис.). Объемная плотность зарядов $\rho$ постоянна и равна $2 мкКл/м^{3}$. Найти напряженность поля в точках 1 и 2, лежащих на расстояниях $r_{1} = 1 см, r_{2} = 3 см$ от оси цилиндра, и разность потенциалов между этими точками. Построить графики $E_{r}(r)$ и $\phi(r)$.
Решение:
Поле создано зарядом, равномерно распределенным по объему. Конфигурация зарядов позволяет считать, что поле обладает осевой симметрией: силовые линии — прямые и в любой плоскости, перпендикулярной оси цилиндра, радиальны. (Очевидно, что вблизи концов цилиндра и при очень больших $r$ силовые линии не будут радиальны.) Предполагаемая симметрия позволяет искать напряженность поля с помощью теоремы Гаусса. Вспомогательной поверхности следует придать форму, цилиндрической поверхности, коаксиальной заряду. Длина этого цилиндра может быть произвольной, но заведомо много меньше, чем длина-заряженного цилиндра, в противном случае предположение о плоскорадиальной структуре поля несправедливо.
Разность потенциалов можно найти, используя выражение напряженности поля как функции координат:
$\phi_{1} - \phi_{2} = \int_{1}^{2} \vec{E} d \vec{l} = \int_{1}^{2} \vec{E}_{r} d \vec{r}$. (1)
Очевидно, что разность потенциалов двух заданных точек не зависит от выбора начала отсчета потенциала. Однако по условию задачи требуется еще построить график зависимости $\phi(r)$. Для этого надо предварительно выбрать начало отсчета потенциала. Из приведенных выше соображений о симметрии поля ясно, что оно не может находиться в бесконечности.
По-видимому, характер функциональной зависимости $E(r)$ для точек, лежащих внутри и вне объемного заряда, различен. Поэтому следует провести две вспомогательные цилиндрические поверхности $S_{1}$ и $S_{2}$ с радиусами $r_{1} < R_{0}$ и $r_{2} > R_{0}$. Для каждой поверхности теорема Гаусса может быть записана в виде
$\oint_{S_{1,2}} = \vec{E} d \vec{S} = \frac{ \sigma Q}{ \epsilon_{0}}$. (2)
Боковая поверхность вспомогательного цилиндра и его торцы находятся заведомо в разных условиях относительно силовых линий поля, причем во всех точках торцов $\hat{ \vec{E}, d \vec{S}} = \pi /2$ и поток вектора напряженности сквозь торцовые поверхности равен нулю. На боковых поверхностях $S_{1,2,бок}$ нормаль совпадает с направлением радиус-вектора, поэтому $\vec{E} d \vec{S} = E_{r} dS$ и
$\oint_{S_{1,2}} \vec{E} d \vec{S} = \oint_{S_{1,2, бок}} E_{r} dS$.
Все точки боковой поверхности находятся в одинаковых условиях относительно заряда, что позволяет считать $E_{r}$ постоянной величиной. Тогда
$\int_{S_{1,2,бок}} E_{r} dS = E_{r} \int_{S_{1,2,бок}} E_{r} dS = E_{r} \cdot 2 \pi rh$, (3)
где $r$ и $h$ — радиус и высота вспомогательной поверхности.
Сумма зарядов, охваченных вспомогательной поверхностью, стоящая в правой части выражения (2), зависит от радиуса вспомогательной поверхности.
При $r < R_{0}$
$\sum Q = \rho \pi r^{2} h$. (4)
(Следует обратить внимание, что $r$ — это расстояние от оси цилиндра до точки, в которой отыскивается напряженность поля и одновременно радиус вспомогательной поверхности $S_{1}$) Подставляя выражение (4) в (2) и заменяя интеграл по замкнутой поверхности $S_{1}$ правой частью равенства (3), получаем
$E_{r} \cdot 2 \pi rh = \rho \pi r^{2} h / \epsilon_{0}$, откуда $E_{r} = \rho r/(2 \epsilon_{0})$. (5)
При $r > R_{0} \sum Q = \rho \pi R_{0}^{2}h$.
Подставляя это выражение в (2) и заменяя интеграл по замкнутой поверхности $S_{2}$ правой частью равенства (3), получаем
$E_{r} \cdot 2 \pi rh = \rho \pi R_{0}^{2} h / \epsilon_{0}$,
откуда
$E_{r} = \rho R_{0}^{2} / (2 \epsilon_{0} r)$. (6)
Подставляя в (5) $r = r_{1}$ и в (6) $r = r_{2}$, находим:
$E_{1} = 1,1 \cdot 10^{3} В/м ; E_{2} = 1,5 \cdot 10^{3} В/м$.
Для определения разности потенциалов между точками 1 и 2 по равенству (1) интеграл следует разбить на два: в пределах от точки 1 до поверхности, ограничивающей объемный заряд, и от этой поверхности до точки 2:
$\int_{1}^{2} E_{r}dr = \int_{1}^{R_{0}} E_{r} dr + \int_{R_{0}}^{2} E_{r} dr$.
В первый интеграл следует подставлять выражение (5), во второй — выражение (6):
$\phi_{1} - \phi_{2} = \frac{ \rho}{2 \epsilon_{0}} \left ( \int_{r_{1}}^{R_{0}} rdr + R_{0}^{2} \int_{R_{0}}^{r_{2}} \frac{dr}{r} \right ) = \frac{ \rho}{2 \epsilon_{0}} \left ( \frac{R_{0}^{2}}{2} - \frac{r_{1}^{2}}{2} + R_{0} ln \frac{r_{2}}{R_{0}} \right ) = 35 В$.
Для построения графика $E_{r}(r)$ на основании выражений (5) и (6) целесообразно сначала рассчитать $E_{r}$ при $r = R_{0}$:
$E(R_{0}) = \rho R_{0}/(2 \epsilon_{0}) = 2,3 \cdot 10^{3} В/м.$
Расчет по формулам (5) и (6) дает один и тот же результат, так как напряженность на этой поверхности не терпит разрыва.
Графическая зависимость $E_{r}(r)$ показана на рис..
График зависимости $\phi(r)$ можно построить из анализа графика $E_{r}(r)$, учитывая, что $E_{r} = - d \phi / dr$. Начало отсчета потенциала можно выбрать в любой точке области, где справедливы выражения (4) и (5). Выберем начало отсчета на оси объемного заряда: $\phi (0) = 0$. Так как во всей области $E_{r} > 0$, т. е. $(d \phi/dr) < 0$, то потенциал непрерывно убывает. В области $r < R_{0} E_{r}$ возрастает [$(dE_{r} /dr) > 0$], соответственно $(d^{2} \phi/ dr^{2}) < 0$ и график $\phi(r)$ обращен вогнутостью вниз. При $r > R_{0} E_{r}$ убывает [$(dE_{r}/dr) < 0$], соответственно $(d^{2} \phi/ dr^{2}) > 0$ и график $\phi (r)$ обращен вогнутостью вверх. При $r = R_{0}$ кривая $\phi(r)$ имеет точку перегиба (вторая производная изменяет знак). График $\phi(r)$ изображен на риc.
Если изменить начало отсчета потенциала, то характер графика не изменяется, например при выборе начала отсчета на поверхности объемного заряда [$\phi(R_{0}) = 0$] график примет вид, изображенный на рис. пунктиром.
В вакууме имеется скопление зарядов в форме длинного цилиндра радиуса $R_{0} = 2 см$ (рис.). Объемная плотность зарядов $\rho$ постоянна и равна $2 мкКл/м^{3}$. Найти напряженность поля в точках 1 и 2, лежащих на расстояниях $r_{1} = 1 см, r_{2} = 3 см$ от оси цилиндра, и разность потенциалов между этими точками. Построить графики $E_{r}(r)$ и $\phi(r)$.
Решение:
Поле создано зарядом, равномерно распределенным по объему. Конфигурация зарядов позволяет считать, что поле обладает осевой симметрией: силовые линии — прямые и в любой плоскости, перпендикулярной оси цилиндра, радиальны. (Очевидно, что вблизи концов цилиндра и при очень больших $r$ силовые линии не будут радиальны.) Предполагаемая симметрия позволяет искать напряженность поля с помощью теоремы Гаусса. Вспомогательной поверхности следует придать форму, цилиндрической поверхности, коаксиальной заряду. Длина этого цилиндра может быть произвольной, но заведомо много меньше, чем длина-заряженного цилиндра, в противном случае предположение о плоскорадиальной структуре поля несправедливо.
Разность потенциалов можно найти, используя выражение напряженности поля как функции координат:
$\phi_{1} - \phi_{2} = \int_{1}^{2} \vec{E} d \vec{l} = \int_{1}^{2} \vec{E}_{r} d \vec{r}$. (1)
Очевидно, что разность потенциалов двух заданных точек не зависит от выбора начала отсчета потенциала. Однако по условию задачи требуется еще построить график зависимости $\phi(r)$. Для этого надо предварительно выбрать начало отсчета потенциала. Из приведенных выше соображений о симметрии поля ясно, что оно не может находиться в бесконечности.
По-видимому, характер функциональной зависимости $E(r)$ для точек, лежащих внутри и вне объемного заряда, различен. Поэтому следует провести две вспомогательные цилиндрические поверхности $S_{1}$ и $S_{2}$ с радиусами $r_{1} < R_{0}$ и $r_{2} > R_{0}$. Для каждой поверхности теорема Гаусса может быть записана в виде
$\oint_{S_{1,2}} = \vec{E} d \vec{S} = \frac{ \sigma Q}{ \epsilon_{0}}$. (2)
Боковая поверхность вспомогательного цилиндра и его торцы находятся заведомо в разных условиях относительно силовых линий поля, причем во всех точках торцов $\hat{ \vec{E}, d \vec{S}} = \pi /2$ и поток вектора напряженности сквозь торцовые поверхности равен нулю. На боковых поверхностях $S_{1,2,бок}$ нормаль совпадает с направлением радиус-вектора, поэтому $\vec{E} d \vec{S} = E_{r} dS$ и
$\oint_{S_{1,2}} \vec{E} d \vec{S} = \oint_{S_{1,2, бок}} E_{r} dS$.
Все точки боковой поверхности находятся в одинаковых условиях относительно заряда, что позволяет считать $E_{r}$ постоянной величиной. Тогда
$\int_{S_{1,2,бок}} E_{r} dS = E_{r} \int_{S_{1,2,бок}} E_{r} dS = E_{r} \cdot 2 \pi rh$, (3)
где $r$ и $h$ — радиус и высота вспомогательной поверхности.
Сумма зарядов, охваченных вспомогательной поверхностью, стоящая в правой части выражения (2), зависит от радиуса вспомогательной поверхности.
При $r < R_{0}$
$\sum Q = \rho \pi r^{2} h$. (4)
(Следует обратить внимание, что $r$ — это расстояние от оси цилиндра до точки, в которой отыскивается напряженность поля и одновременно радиус вспомогательной поверхности $S_{1}$) Подставляя выражение (4) в (2) и заменяя интеграл по замкнутой поверхности $S_{1}$ правой частью равенства (3), получаем
$E_{r} \cdot 2 \pi rh = \rho \pi r^{2} h / \epsilon_{0}$, откуда $E_{r} = \rho r/(2 \epsilon_{0})$. (5)
При $r > R_{0} \sum Q = \rho \pi R_{0}^{2}h$.
Подставляя это выражение в (2) и заменяя интеграл по замкнутой поверхности $S_{2}$ правой частью равенства (3), получаем
$E_{r} \cdot 2 \pi rh = \rho \pi R_{0}^{2} h / \epsilon_{0}$,
откуда
$E_{r} = \rho R_{0}^{2} / (2 \epsilon_{0} r)$. (6)
Подставляя в (5) $r = r_{1}$ и в (6) $r = r_{2}$, находим:
$E_{1} = 1,1 \cdot 10^{3} В/м ; E_{2} = 1,5 \cdot 10^{3} В/м$.
Для определения разности потенциалов между точками 1 и 2 по равенству (1) интеграл следует разбить на два: в пределах от точки 1 до поверхности, ограничивающей объемный заряд, и от этой поверхности до точки 2:
$\int_{1}^{2} E_{r}dr = \int_{1}^{R_{0}} E_{r} dr + \int_{R_{0}}^{2} E_{r} dr$.
В первый интеграл следует подставлять выражение (5), во второй — выражение (6):
$\phi_{1} - \phi_{2} = \frac{ \rho}{2 \epsilon_{0}} \left ( \int_{r_{1}}^{R_{0}} rdr + R_{0}^{2} \int_{R_{0}}^{r_{2}} \frac{dr}{r} \right ) = \frac{ \rho}{2 \epsilon_{0}} \left ( \frac{R_{0}^{2}}{2} - \frac{r_{1}^{2}}{2} + R_{0} ln \frac{r_{2}}{R_{0}} \right ) = 35 В$.
Для построения графика $E_{r}(r)$ на основании выражений (5) и (6) целесообразно сначала рассчитать $E_{r}$ при $r = R_{0}$:
$E(R_{0}) = \rho R_{0}/(2 \epsilon_{0}) = 2,3 \cdot 10^{3} В/м.$
Расчет по формулам (5) и (6) дает один и тот же результат, так как напряженность на этой поверхности не терпит разрыва.
Графическая зависимость $E_{r}(r)$ показана на рис..
График зависимости $\phi(r)$ можно построить из анализа графика $E_{r}(r)$, учитывая, что $E_{r} = - d \phi / dr$. Начало отсчета потенциала можно выбрать в любой точке области, где справедливы выражения (4) и (5). Выберем начало отсчета на оси объемного заряда: $\phi (0) = 0$. Так как во всей области $E_{r} > 0$, т. е. $(d \phi/dr) < 0$, то потенциал непрерывно убывает. В области $r < R_{0} E_{r}$ возрастает [$(dE_{r} /dr) > 0$], соответственно $(d^{2} \phi/ dr^{2}) < 0$ и график $\phi(r)$ обращен вогнутостью вниз. При $r > R_{0} E_{r}$ убывает [$(dE_{r}/dr) < 0$], соответственно $(d^{2} \phi/ dr^{2}) > 0$ и график $\phi (r)$ обращен вогнутостью вверх. При $r = R_{0}$ кривая $\phi(r)$ имеет точку перегиба (вторая производная изменяет знак). График $\phi(r)$ изображен на риc.
Если изменить начало отсчета потенциала, то характер графика не изменяется, например при выборе начала отсчета на поверхности объемного заряда [$\phi(R_{0}) = 0$] график примет вид, изображенный на рис. пунктиром.
