Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 3534
2017-05-27 
Положительный заряд $Q$ равномерно распределен по тонкому проволочному кольцу радиуса $R$ (рис.). Определить напряженность поля и потенциал в точке С, лежащей на оси кольца на расстоянии $z$ от его центра. Изменятся ли эти величины, если нарушить равномерное распределение заряда по кольцу?
Решение:
Поле создано зарядом, распределенным по тонкому кольцу заданного радиуса. Оно не обладает достаточной симметрией даже при равномерном распределении заряда (нельзя указать точную конфигурацию силовых линий), поэтому для расчета напряженности и потенциала поля можно использовать только принцип суперпозиции. Разобьем кольцо на элементарные участки. Каждый такой участок можно принять за точечный заряд $dQ$. Потенциал созданного им поля
$d \phi = dQ / (4 \pi \epsilon_{0} r)$, (1)
где $r$ — расстояние от элемента $dQ$, до точки С.
Потенциал результирующего поля получим интегрированием выражения (1):
$\phi= \int_{(Q)} \frac{dQ}{4 \pi \epsilon_{0} r}$. (2)
Если ввести оси координат, то проекции вектора напряженности на оси координат можно определить дифференцированием полученного выражения для потенциала по соответствующей координате.
При переходе от одного элемента кольца к другому $r = \sqrt{R^{2} - z^{2}}$ не изменяется. Тогда выражение (2) можно преобразовать:
$\phi_{C} = \frac{1}{4 \pi \epsilon_{0} (R^{2} + z^{2})^{1/2}} \int_{(Q)} dQ$.
Очевидно, что $\int_{(Q)} dQ = Q$ независимо от характера распределения заряда. Следовательно, как в случае равномерного распределения заряда по кольцу, так и в любом другом случае в точках, лежащих на оси кольца, потенциал
$\phi = \frac{Q}{4 \pi \epsilon_{0} (R^{2} + z^{2})^{1/2}}$. (3)
Проекция вектора напряженности на ось 0Z
$E_{z} = - \frac{ \partial \phi}{ \partial z} = \frac{Qz}{4 \pi \epsilon_{0} (R^{2} + z^{2})^{3/2}}$. (4)
При равномерном распределении заряда из симметрии его следует, что вектор $\vec{E}$ направлен вдоль оси 0Z, т. е. $E_{x} = E_{y} = 0, \vec{E} = E_{z} \vec{k}$. При $z > 0$, если заряд положительный, $E_{z} > 0$ и вектор $\vec{E}$ направлен по оси 0Z, т. е. вверх. В области $z < 0 E_{z} < 0$ и вектор $\vec{E}$ направлен против оси 0Z, т. е. вниз.
При неравномерном распределении заряда по кольцу выражения (3), а следовательно, и (4) не изменятся, но $E_{x}$ и $E_{y}$ не обратятся в нуль и будут существенно зависеть от характера распределения заряда. При этом, чтобы найти $E_{x}$ и $E_{y}$ в точках, лежащих на оси 0Z, следует определить потенциал в произвольной точке пространства ($x \neq 0, y \neq 0$), затем дифференцированием получить выражения для $E_{x}$ и $E_{y}$ и только после этого подставить $x = 0, y = 0$.
Таким образом, при нарушении равномерного распределения заряда потенциал точки С останется прежним, а напряженность изменится.
Положительный заряд $Q$ равномерно распределен по тонкому проволочному кольцу радиуса $R$ (рис.). Определить напряженность поля и потенциал в точке С, лежащей на оси кольца на расстоянии $z$ от его центра. Изменятся ли эти величины, если нарушить равномерное распределение заряда по кольцу?
Решение:
Поле создано зарядом, распределенным по тонкому кольцу заданного радиуса. Оно не обладает достаточной симметрией даже при равномерном распределении заряда (нельзя указать точную конфигурацию силовых линий), поэтому для расчета напряженности и потенциала поля можно использовать только принцип суперпозиции. Разобьем кольцо на элементарные участки. Каждый такой участок можно принять за точечный заряд $dQ$. Потенциал созданного им поля
$d \phi = dQ / (4 \pi \epsilon_{0} r)$, (1)
где $r$ — расстояние от элемента $dQ$, до точки С.
Потенциал результирующего поля получим интегрированием выражения (1):
$\phi= \int_{(Q)} \frac{dQ}{4 \pi \epsilon_{0} r}$. (2)
Если ввести оси координат, то проекции вектора напряженности на оси координат можно определить дифференцированием полученного выражения для потенциала по соответствующей координате.
При переходе от одного элемента кольца к другому $r = \sqrt{R^{2} - z^{2}}$ не изменяется. Тогда выражение (2) можно преобразовать:
$\phi_{C} = \frac{1}{4 \pi \epsilon_{0} (R^{2} + z^{2})^{1/2}} \int_{(Q)} dQ$.
Очевидно, что $\int_{(Q)} dQ = Q$ независимо от характера распределения заряда. Следовательно, как в случае равномерного распределения заряда по кольцу, так и в любом другом случае в точках, лежащих на оси кольца, потенциал
$\phi = \frac{Q}{4 \pi \epsilon_{0} (R^{2} + z^{2})^{1/2}}$. (3)
Проекция вектора напряженности на ось 0Z
$E_{z} = - \frac{ \partial \phi}{ \partial z} = \frac{Qz}{4 \pi \epsilon_{0} (R^{2} + z^{2})^{3/2}}$. (4)
При равномерном распределении заряда из симметрии его следует, что вектор $\vec{E}$ направлен вдоль оси 0Z, т. е. $E_{x} = E_{y} = 0, \vec{E} = E_{z} \vec{k}$. При $z > 0$, если заряд положительный, $E_{z} > 0$ и вектор $\vec{E}$ направлен по оси 0Z, т. е. вверх. В области $z < 0 E_{z} < 0$ и вектор $\vec{E}$ направлен против оси 0Z, т. е. вниз.
При неравномерном распределении заряда по кольцу выражения (3), а следовательно, и (4) не изменятся, но $E_{x}$ и $E_{y}$ не обратятся в нуль и будут существенно зависеть от характера распределения заряда. При этом, чтобы найти $E_{x}$ и $E_{y}$ в точках, лежащих на оси 0Z, следует определить потенциал в произвольной точке пространства ($x \neq 0, y \neq 0$), затем дифференцированием получить выражения для $E_{x}$ и $E_{y}$ и только после этого подставить $x = 0, y = 0$.
Таким образом, при нарушении равномерного распределения заряда потенциал точки С останется прежним, а напряженность изменится.
