Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 3533
2017-05-27 
Тонкий стержень длины $l = 10 см$ равномерно заряжен зарядом $Q = - 3 \cdot 10^{-9} Кл$ (рис.). Найти напряженность поля и потенциал в точке С, лежащей на оси стержня. Расстояние от середины стержня до этой точки $x_{0} = 20 см$. Определить, при каком наименьшем значении $x_{0}/l$ напряженность можно рассчитывать по формуле поля точечного заряда, если относительная погрешность не превышает 5%.
Решение:
Электростатическое поле создано зарядом, распределенным по тонкому стержню. Конфигурация зарядов не позволяет установить точное расположение силовых линий в пространстве, поэтому для определения характеристик поля следует использовать принцип суперпозиции. Разобьем стержень на элементарные участки длины $dl$ с зарядом $dQ$. Каждый такой участок можно принять за точечный заряд, создающий потенциал
$d \phi = dQ/(4 \pi \epsilon_{0} r)$,
где $r$ — расстояние от элемента $dl$ до точки С.
Потенциал результирующего поля
$\phi = \int_{(Q)} \frac{dQ}{4 \pi \epsilon_{0} r}$, (1)
где $(Q)$ показывает, что интеграл берется по всему заряду $Q$, создающему поле. Поскольку требуется найти напряженность и потенциал поля в точках, лежащих на оси стержня, введем ось ОХ. Тогда длина элемента $dl = dx$, положение элемента определяется его координатой х, а расстояние от этого элемента до точки С
$r = x_{0} - x$. (2)
Вследствие симметрии очевидно, что в точках, лежащих на оси ОХ, вектор $\vec{E}$ направлен вдоль этой оси, поэтому
$E_{x} = - d \phi / dx, E_{y} = E_{z} = 0$. (3)
Равномерное распределение заряда по стержню позволяет утверждать, что $dQ/dl = Q/l$, откуда $dQ = (Q/l)dl$.
Так как $dl = dx$ и при интегрировании по стержню переменная х изменяется в пределах от $- l/2$ до $+ l/2$, то согласно (1) и (2)
$\phi = \frac{Q}{4 \pi \epsilon_{0} l} \int_{-l/2}^{+l/2} \frac{dx}{x_{0}- x}$.
Производя интегрирование, получаем
$\phi = \frac{Q}{ 4 \pi \epsilon_{0} l} ln \frac{x + l/2}{x - l/2}$. (4)
Для $x_{0} = 20 см \phi_{C} = - 138 В$.
Расстояние $x_{0}$ в выбранной системе координат представляет собой абсциссу х точки С, и выражение (4) можно записать как функцию координаты х:
$\phi = \frac{Q}{4 \pi \epsilon_{0} l} ln \frac{x_{0} + l/2}{x_{0} - l/2}$.
Тогда
$E_{x} = - \frac{d \phi}{dx} = \frac{Q}{4 \pi \epsilon_{0} l} \left ( \frac{1}{X - l/2} - \frac{1}{x + l/2} \right )^{1}$. (5)
Поскольку заряд $Q < 0$, то $E_{x} < 0$ и $E = - E_{x}$, если $x > l/2$ (справа от стержня), $E_{x} > 0$ и $E = E_{x}$, если $x < - l/2$ (слева от стержня). Следует заметить, что формулы, выведенные для потенциала и напряженности, справедливы только для $| x | > l/2$.
Подставляя $x = x_{0} = 20 см$ в (5), получаем $E_{0} = 720 В/м$, причем вектор $\vec{E}_{0}$ направлен противоположно направлению оси ОХ.
Чтобы ответить на второй вопрос задачи, проанализируем выражение (5). Очевидно, что пренебречь $l/2$ по сравнению с х нельзя. В этом случае напряженность электрического поля обратится в нуль. Преобразуем выражение, стоящее в скобках: приведем дроби к общему знаменателю, после чего вынесем в знаменателе $x^{2}$ за скобки:
$\frac{1}{x - l/2} - \frac{1}{x + l/2} = \frac{l}{x^{2} [1 - l^{2} /(4x^{2})]} = \frac{1}{x^{2}} \left ( 1 + \frac{l^{2}}{4x^{2}} \right )$
[последнее преобразование возможно, если членами, содержащими $l/(2x)$ в степени, большей 2, пренебречь]. Таким образом [см. (5)],
$E = \frac{Q}{4 \pi \epsilon_{0} x^{2}} \left ( 1 + \frac{l^{2}}{4x^{2}} \right )$. (6)
По приближенной формуле напряженность поля точечного заряда
$E_{прибл} = \frac{Q}{4 \pi \epsilon_{0} x^{2}}$. (7)
Из сравнения выражений (6) и (7) видно, что погрешность приближенного расчета
$\delta E = \frac{|E - E_{прибл}|}{E_{прибл}} = \frac{l^{2}}{4x^{2}}$.
По условию $\delta E = 0,05$, следовательно, $x_{0}/l = \sqrt{5} \approx 2,2$, т. е. даже при таком небольшом удалении от стержня можно пользоваться приближенной формулой напряженности поля точечного заряда, если допустимая погрешность 5%.
Тонкий стержень длины $l = 10 см$ равномерно заряжен зарядом $Q = - 3 \cdot 10^{-9} Кл$ (рис.). Найти напряженность поля и потенциал в точке С, лежащей на оси стержня. Расстояние от середины стержня до этой точки $x_{0} = 20 см$. Определить, при каком наименьшем значении $x_{0}/l$ напряженность можно рассчитывать по формуле поля точечного заряда, если относительная погрешность не превышает 5%.
Решение:
Электростатическое поле создано зарядом, распределенным по тонкому стержню. Конфигурация зарядов не позволяет установить точное расположение силовых линий в пространстве, поэтому для определения характеристик поля следует использовать принцип суперпозиции. Разобьем стержень на элементарные участки длины $dl$ с зарядом $dQ$. Каждый такой участок можно принять за точечный заряд, создающий потенциал
$d \phi = dQ/(4 \pi \epsilon_{0} r)$,
где $r$ — расстояние от элемента $dl$ до точки С.
Потенциал результирующего поля
$\phi = \int_{(Q)} \frac{dQ}{4 \pi \epsilon_{0} r}$, (1)
где $(Q)$ показывает, что интеграл берется по всему заряду $Q$, создающему поле. Поскольку требуется найти напряженность и потенциал поля в точках, лежащих на оси стержня, введем ось ОХ. Тогда длина элемента $dl = dx$, положение элемента определяется его координатой х, а расстояние от этого элемента до точки С
$r = x_{0} - x$. (2)
Вследствие симметрии очевидно, что в точках, лежащих на оси ОХ, вектор $\vec{E}$ направлен вдоль этой оси, поэтому
$E_{x} = - d \phi / dx, E_{y} = E_{z} = 0$. (3)
Равномерное распределение заряда по стержню позволяет утверждать, что $dQ/dl = Q/l$, откуда $dQ = (Q/l)dl$.
Так как $dl = dx$ и при интегрировании по стержню переменная х изменяется в пределах от $- l/2$ до $+ l/2$, то согласно (1) и (2)
$\phi = \frac{Q}{4 \pi \epsilon_{0} l} \int_{-l/2}^{+l/2} \frac{dx}{x_{0}- x}$.
Производя интегрирование, получаем
$\phi = \frac{Q}{ 4 \pi \epsilon_{0} l} ln \frac{x + l/2}{x - l/2}$. (4)
Для $x_{0} = 20 см \phi_{C} = - 138 В$.
Расстояние $x_{0}$ в выбранной системе координат представляет собой абсциссу х точки С, и выражение (4) можно записать как функцию координаты х:
$\phi = \frac{Q}{4 \pi \epsilon_{0} l} ln \frac{x_{0} + l/2}{x_{0} - l/2}$.
Тогда
$E_{x} = - \frac{d \phi}{dx} = \frac{Q}{4 \pi \epsilon_{0} l} \left ( \frac{1}{X - l/2} - \frac{1}{x + l/2} \right )^{1}$. (5)
Поскольку заряд $Q < 0$, то $E_{x} < 0$ и $E = - E_{x}$, если $x > l/2$ (справа от стержня), $E_{x} > 0$ и $E = E_{x}$, если $x < - l/2$ (слева от стержня). Следует заметить, что формулы, выведенные для потенциала и напряженности, справедливы только для $| x | > l/2$.
Подставляя $x = x_{0} = 20 см$ в (5), получаем $E_{0} = 720 В/м$, причем вектор $\vec{E}_{0}$ направлен противоположно направлению оси ОХ.
Чтобы ответить на второй вопрос задачи, проанализируем выражение (5). Очевидно, что пренебречь $l/2$ по сравнению с х нельзя. В этом случае напряженность электрического поля обратится в нуль. Преобразуем выражение, стоящее в скобках: приведем дроби к общему знаменателю, после чего вынесем в знаменателе $x^{2}$ за скобки:
$\frac{1}{x - l/2} - \frac{1}{x + l/2} = \frac{l}{x^{2} [1 - l^{2} /(4x^{2})]} = \frac{1}{x^{2}} \left ( 1 + \frac{l^{2}}{4x^{2}} \right )$
[последнее преобразование возможно, если членами, содержащими $l/(2x)$ в степени, большей 2, пренебречь]. Таким образом [см. (5)],
$E = \frac{Q}{4 \pi \epsilon_{0} x^{2}} \left ( 1 + \frac{l^{2}}{4x^{2}} \right )$. (6)
По приближенной формуле напряженность поля точечного заряда
$E_{прибл} = \frac{Q}{4 \pi \epsilon_{0} x^{2}}$. (7)
Из сравнения выражений (6) и (7) видно, что погрешность приближенного расчета
$\delta E = \frac{|E - E_{прибл}|}{E_{прибл}} = \frac{l^{2}}{4x^{2}}$.
По условию $\delta E = 0,05$, следовательно, $x_{0}/l = \sqrt{5} \approx 2,2$, т. е. даже при таком небольшом удалении от стержня можно пользоваться приближенной формулой напряженности поля точечного заряда, если допустимая погрешность 5%.
