Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 3532
2017-05-27 
Два равных точечных заряда $Q_{1} = Q_{2} = 7 \cdot 10^{-11} Кл$ находятся на расстоянии $l = 10 см$ один от другого. Найти напряженность поля и потенциал в точках В и С (рис.; $h = 5 см, a = 5 см$). Построить графики зависимости потенциала и напряженности от расстояния для точек, расположенных на линии, соединяющей заряды, и на перпендикуляре к ней, симметричном относительно зарядов.
Решение:
Электростатическое поле создается двумя точечными зарядами. В любой точке пространства потенциал результирующего поля может быть найден по принципу суперпозиции: $\phi = \phi_{1} + \phi_{2}$, где $\phi_{1}$ и $\phi_{2}$ — потенциалы, созданные зарядами $Q_{1}$ и $Q_{2}$ соответственно. Рассмотрим некоторую произвольную точку М и введем оси координат, показанные на рис.. При таком выборе осей координат расстояния $r_{1}$ и $r_{2}$ от каждого из зарядов до точки М (х, у) можно записать в виде
$r_{1} = \sqrt{x^{2} + y^{2}}, r_{2} = \sqrt{ (l - x)^{2} + y^{2}}$.
Тогда потенциал точки М
$\phi = \frac{Q}{4 \pi \epsilon_{0}} \left ( \frac{1}{ \sqrt{x^{2} + y^{2}}} + \frac{1}{ \sqrt{(l-x)^{2} + y^{2}}} \right )$. (1)
Проекции вектора напряженности на оси координат легко определить дифференцированием выражения (1):
$E_{x} = - \frac{ \partial \phi}{ \partial x} = \frac{Q}{4 \pi \epsilon_{0}} \left \{ \frac{x}{ (x^{2} + y^{2})^{3/2}} - \frac{l-x}{ [(l-x)^{2} + y^{2}]^{3/2}} \right \}$, (2)
$E_{y} = - \frac{ \partial \phi}{ \partial y} = \frac{Q}{4 \pi \epsilon_{0}} y \left \{ \frac{x}{ (x^{2} + y^{2})^{3/2}} + \frac{1}{ [(l-x)^{2} + y^{2}]^{3/2}} \right \}$.
Выражения (2) позволяют найти модуль и направление вектора $\vec{E}$ в любой точке.
Исследуя выражения (1) и (2), можно построить графики зависимости потенциала и проекций $E_{x}$ и $E_{y}$ от соответствующих координат.
Координаты точки В: $x = l/2, y =h$. Координаты точки С: $x = l + a, y = 0$. Подставляя их в выражения (1) и (2), находим потенциалы и проекции вектора напряженности в указанных точках.
В точке В:
$\phi = \frac{Q}{4 \pi \epsilon_{0}} \frac{2}{ \sqrt{l^{2}/4 + h^{2}}} = 18 В, E_{x} = 0$,
$E_{y} = \frac{Q}{4 \pi \epsilon_{0}} h \frac{2}{(l^{2}/4 + h^{2})^{3/2}} = 180 В/м$.
В точке В вектор напряженности направлен вверх параллельно оси OY, по модулю $E = E_{y} = 180 В/м$.
В точке С:
$\phi = \frac{Q}{4 \pi \epsilon_{0}} \left ( \frac{1}{l+a} + \frac{1}{a} \right ) = 17 В$,
$E_{x} \frac{Q}{4 \pi \epsilon_{0}} \left [ \frac{1}{(l+a)^{2}} + \frac{1}{a^{2}} \right ] = 280 В/м, E_{y} = 0$.
При расчете $E_{x}$ [см. (2)] в точках, где $x > l, y = 0$, выражения $(l - x) < 0, [(l - x)^{2} + y^{2}]^{3/2} = | l - x |^{3}$. В точке С вектор напряженности направлен вправо вдоль оси ОХ, при этом $E = E_{x} = 280 В/м$.
Для точек, лежащих на прямой, соединяющей заряды, $y = 0$ и
$\phi = \frac{Q}{4 \pi \epsilon_{0}} \left ( \frac{1}{|x|} + \frac{1}{|l-x|} \right )$.
Для этих точек $\phi > 0$ при любом $x; \phi \rightarrow \infty$ при $x \rightarrow 0$ и $x \rightarrow l$. Очевидно, что в области $0 < x < l$ потенциал имеет минимум. Из выражения $E_{x}$ для точек $y = 0$ видно, что $\phi = \phi_{min} (E_{x} = 0)$ при $x = l/2$. Примерный график $\phi (x)$ для этой прямой изображен на рис. а.
Для точек $y = 0$ [см. (2)]
$E_{x} = \frac{Q}{4 \pi \epsilon_{0}} \left ( \frac{x}{|x|^{3}} - \frac{l-x}{ |l-x|^{3}} \right ), E_{y} = 0$.
В соответствии с этим выражением
$E_{x} = \frac{Q}{4 \pi \epsilon_{0}} \left [ \frac{1}{x^{2}} - \frac{1}{(l-x)^{2}} \right ]$
$(0 < x < l)$
причем $E_{x} > 0$, если $x < l/2; E_{x} < 0$, если $x > l/2$;
$E_{x} = \frac{Q}{4 \pi \epsilon_{0}} \left \{ \frac{1}{x^{2}} + \frac{1}{(l-x)^{2}} \right \} > 0 (x > l)$;
$E_{x} = \left \{ - \frac{1}{x^{2}} - \frac{Q}{4 \pi \epsilon_{0}} \frac{1}{(l + |x|^{2})} \right \} < 0 (x < 0)$.
Напряженность терпит разрыв в точках $x = 0$ и $x = l$, причем $E_{x} \rightarrow \pm \infty$, если $x \rightarrow 0$, и $E_{x} \rightarrow \mp \infty$, если $x \rightarrow l$.
График $E_{x}(x)$ для прямой $y = 0$ показан на рис. б.
Для точек, лежащих на прямой DB, $x = l/2$ и выражения (1) и (2) принимают такой вид:
$\phi = \frac{Q}{4 \pi \epsilon_{0}} \frac{1}{ \sqrt{l^{2}/4 + y^{2}}}$,
$E_{x} = 0, E_{y} = \frac{Qy}{2 \pi \epsilon_{0} (l^{2}/4 + y^{2})^{3/2}}$.
Очевидно, что $\phi > 0$ при всех значениях у, знак проекции $E_{y}$ определяется знаком ординаты у.
При $y = \pm l \sqrt{2}/4 = 3,5 см$ производная $dE_{y}/dy = 0$ и, следовательно, $E_{y}$ имеет экстремальные значения. Соответственно, для $\phi(y)$ это будут точки перегиба. Примерные графики $\phi(y)$ и $E_{y}(y)$ показаны на рис. а, б.
Два равных точечных заряда $Q_{1} = Q_{2} = 7 \cdot 10^{-11} Кл$ находятся на расстоянии $l = 10 см$ один от другого. Найти напряженность поля и потенциал в точках В и С (рис.; $h = 5 см, a = 5 см$). Построить графики зависимости потенциала и напряженности от расстояния для точек, расположенных на линии, соединяющей заряды, и на перпендикуляре к ней, симметричном относительно зарядов.
Решение:
Электростатическое поле создается двумя точечными зарядами. В любой точке пространства потенциал результирующего поля может быть найден по принципу суперпозиции: $\phi = \phi_{1} + \phi_{2}$, где $\phi_{1}$ и $\phi_{2}$ — потенциалы, созданные зарядами $Q_{1}$ и $Q_{2}$ соответственно. Рассмотрим некоторую произвольную точку М и введем оси координат, показанные на рис.. При таком выборе осей координат расстояния $r_{1}$ и $r_{2}$ от каждого из зарядов до точки М (х, у) можно записать в виде
$r_{1} = \sqrt{x^{2} + y^{2}}, r_{2} = \sqrt{ (l - x)^{2} + y^{2}}$.
Тогда потенциал точки М
$\phi = \frac{Q}{4 \pi \epsilon_{0}} \left ( \frac{1}{ \sqrt{x^{2} + y^{2}}} + \frac{1}{ \sqrt{(l-x)^{2} + y^{2}}} \right )$. (1)
Проекции вектора напряженности на оси координат легко определить дифференцированием выражения (1):
$E_{x} = - \frac{ \partial \phi}{ \partial x} = \frac{Q}{4 \pi \epsilon_{0}} \left \{ \frac{x}{ (x^{2} + y^{2})^{3/2}} - \frac{l-x}{ [(l-x)^{2} + y^{2}]^{3/2}} \right \}$, (2)
$E_{y} = - \frac{ \partial \phi}{ \partial y} = \frac{Q}{4 \pi \epsilon_{0}} y \left \{ \frac{x}{ (x^{2} + y^{2})^{3/2}} + \frac{1}{ [(l-x)^{2} + y^{2}]^{3/2}} \right \}$.
Выражения (2) позволяют найти модуль и направление вектора $\vec{E}$ в любой точке.
Исследуя выражения (1) и (2), можно построить графики зависимости потенциала и проекций $E_{x}$ и $E_{y}$ от соответствующих координат.
Координаты точки В: $x = l/2, y =h$. Координаты точки С: $x = l + a, y = 0$. Подставляя их в выражения (1) и (2), находим потенциалы и проекции вектора напряженности в указанных точках.
В точке В:
$\phi = \frac{Q}{4 \pi \epsilon_{0}} \frac{2}{ \sqrt{l^{2}/4 + h^{2}}} = 18 В, E_{x} = 0$,
$E_{y} = \frac{Q}{4 \pi \epsilon_{0}} h \frac{2}{(l^{2}/4 + h^{2})^{3/2}} = 180 В/м$.
В точке В вектор напряженности направлен вверх параллельно оси OY, по модулю $E = E_{y} = 180 В/м$.
В точке С:
$\phi = \frac{Q}{4 \pi \epsilon_{0}} \left ( \frac{1}{l+a} + \frac{1}{a} \right ) = 17 В$,
$E_{x} \frac{Q}{4 \pi \epsilon_{0}} \left [ \frac{1}{(l+a)^{2}} + \frac{1}{a^{2}} \right ] = 280 В/м, E_{y} = 0$.
При расчете $E_{x}$ [см. (2)] в точках, где $x > l, y = 0$, выражения $(l - x) < 0, [(l - x)^{2} + y^{2}]^{3/2} = | l - x |^{3}$. В точке С вектор напряженности направлен вправо вдоль оси ОХ, при этом $E = E_{x} = 280 В/м$.
Для точек, лежащих на прямой, соединяющей заряды, $y = 0$ и
$\phi = \frac{Q}{4 \pi \epsilon_{0}} \left ( \frac{1}{|x|} + \frac{1}{|l-x|} \right )$.
Для этих точек $\phi > 0$ при любом $x; \phi \rightarrow \infty$ при $x \rightarrow 0$ и $x \rightarrow l$. Очевидно, что в области $0 < x < l$ потенциал имеет минимум. Из выражения $E_{x}$ для точек $y = 0$ видно, что $\phi = \phi_{min} (E_{x} = 0)$ при $x = l/2$. Примерный график $\phi (x)$ для этой прямой изображен на рис. а.
Для точек $y = 0$ [см. (2)]
$E_{x} = \frac{Q}{4 \pi \epsilon_{0}} \left ( \frac{x}{|x|^{3}} - \frac{l-x}{ |l-x|^{3}} \right ), E_{y} = 0$.
В соответствии с этим выражением
$E_{x} = \frac{Q}{4 \pi \epsilon_{0}} \left [ \frac{1}{x^{2}} - \frac{1}{(l-x)^{2}} \right ]$
$(0 < x < l)$
причем $E_{x} > 0$, если $x < l/2; E_{x} < 0$, если $x > l/2$;
$E_{x} = \frac{Q}{4 \pi \epsilon_{0}} \left \{ \frac{1}{x^{2}} + \frac{1}{(l-x)^{2}} \right \} > 0 (x > l)$;
$E_{x} = \left \{ - \frac{1}{x^{2}} - \frac{Q}{4 \pi \epsilon_{0}} \frac{1}{(l + |x|^{2})} \right \} < 0 (x < 0)$.
Напряженность терпит разрыв в точках $x = 0$ и $x = l$, причем $E_{x} \rightarrow \pm \infty$, если $x \rightarrow 0$, и $E_{x} \rightarrow \mp \infty$, если $x \rightarrow l$.
График $E_{x}(x)$ для прямой $y = 0$ показан на рис. б.
Для точек, лежащих на прямой DB, $x = l/2$ и выражения (1) и (2) принимают такой вид:
$\phi = \frac{Q}{4 \pi \epsilon_{0}} \frac{1}{ \sqrt{l^{2}/4 + y^{2}}}$,
$E_{x} = 0, E_{y} = \frac{Qy}{2 \pi \epsilon_{0} (l^{2}/4 + y^{2})^{3/2}}$.
Очевидно, что $\phi > 0$ при всех значениях у, знак проекции $E_{y}$ определяется знаком ординаты у.
При $y = \pm l \sqrt{2}/4 = 3,5 см$ производная $dE_{y}/dy = 0$ и, следовательно, $E_{y}$ имеет экстремальные значения. Соответственно, для $\phi(y)$ это будут точки перегиба. Примерные графики $\phi(y)$ и $E_{y}(y)$ показаны на рис. а, б.
