Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 3531
2017-05-27 
В вершинах квадрата со стороной а расположены два положительных и два отрицательных заряда, значение каждого из них $Q$ (рис. а, б). Определить напряженность электрического поля и потенциал2 в центре этого квадрата.
Решение:
Поле создано четырьмя точечными зарядами. По условию задачи требуется найти характеристики поля в точке, которая равноудалена от всех четырех зарядов и лежит с ними в одной плоскости, т. е. находится в особых условиях по отношению к источникам поля. Поэтому и потенциал, и напряженность следует определять независимо друг от друга с помощью принципа суперпозиции:
$\phi = \phi_{1} + \phi_{2} + \phi_{3} + \phi_{4}$, (1)
$\vec{E} = \vec{E}_{1} + \vec{E}_{2} + \vec{E}_{3} + \vec{E}_{4}$. (2)
При расчете потенциала знаки зарядов учитываются автоматически и, по-видимому, значение результирующего потенциала не зависит от порядка расположения положительных и отрицательных зарядов в вершинах квадрата. Чтобы рассчитать напряженность по равенству (2), следует показать сначала на рисунке направления всех векторов $\vec{E}_{i}$, зависящие от знака заряда $Q_{i}$. Очевидно, вектор напряженности $\vec{E}$ зависит от порядка расположения зарядов в вершинах квадратов.
Расстояние от любого из зарядов до рассматриваемой точки
$r = a \sqrt{2}/2$.
Потенциал, создаваемый зарядом $Q_{i}$ в рассматриваемой точке, $\phi_{i} = Q_{i}/(4 \pi \epsilon_{0} r)$. Следовательно,
$\phi = \sum Q_{i} / 4 \pi \epsilon_{0} r)$.
А так как, по условию задачи, алгебраическая сумма зарядов равна нулю, то и результирующий потенциал $\phi = 0$ независимо от порядка расположения зарядов.
Рассмотрим распределение зарядов, показанное на рис. а. Напряженности $\vec{E}_{2}$ и $\vec{E}_{4}$ полей, созданных 2-м и 4-м зарядами в точке С, сонаправлены и равны по модулю: $| \vec{E}_{2} | = | \vec{E}_{4} |$. Аналогично, $| \vec{E}_{1} | = | \vec{E}_{3} |$. Поэтому напряженность результирующего поля
$\vec{E} = 2 \vec{E}_{1} + 2 \vec{E}_{2}$.
Векторы $\vec{E}_{1}$ и $\vec{E}_{2}$ также равны по модулю и направлены ортогонально друг другу (по диагоналям квадрата), значит, результирующий вектор $\vec{E}$ направлен вертикально вниз (см. рис. a) и тогда
$E = 4E_{1} \cos 45^{ \circ}$.
Напряженность поля, созданного каждым из зарядов,
$E_{i} = |Q_{i}| / ( 4 \pi \epsilon_{0} r^{2}) = |Q_{i}| / (2 \pi \epsilon_{0} a^{2})$.
Заряд $Q_{i}$ следует брать по модулю, так как знак каждого из зарядов был учтен при изображении соответствующего вектора $\vec{E}_{i}$. Окончательно
$E = 4 | Q_{i} | \cos 45^{ \circ} / (2 \pi \epsilon_{0} a^{2}) = Q \sqrt{2} /( \pi \epsilon_{0} a^{2})$.
При расположении зарядов, показанном на рис. б, $E = 0$.
В вершинах квадрата со стороной а расположены два положительных и два отрицательных заряда, значение каждого из них $Q$ (рис. а, б). Определить напряженность электрического поля и потенциал2 в центре этого квадрата.
Решение:
Поле создано четырьмя точечными зарядами. По условию задачи требуется найти характеристики поля в точке, которая равноудалена от всех четырех зарядов и лежит с ними в одной плоскости, т. е. находится в особых условиях по отношению к источникам поля. Поэтому и потенциал, и напряженность следует определять независимо друг от друга с помощью принципа суперпозиции:
$\phi = \phi_{1} + \phi_{2} + \phi_{3} + \phi_{4}$, (1)
$\vec{E} = \vec{E}_{1} + \vec{E}_{2} + \vec{E}_{3} + \vec{E}_{4}$. (2)
При расчете потенциала знаки зарядов учитываются автоматически и, по-видимому, значение результирующего потенциала не зависит от порядка расположения положительных и отрицательных зарядов в вершинах квадрата. Чтобы рассчитать напряженность по равенству (2), следует показать сначала на рисунке направления всех векторов $\vec{E}_{i}$, зависящие от знака заряда $Q_{i}$. Очевидно, вектор напряженности $\vec{E}$ зависит от порядка расположения зарядов в вершинах квадратов.
Расстояние от любого из зарядов до рассматриваемой точки
$r = a \sqrt{2}/2$.
Потенциал, создаваемый зарядом $Q_{i}$ в рассматриваемой точке, $\phi_{i} = Q_{i}/(4 \pi \epsilon_{0} r)$. Следовательно,
$\phi = \sum Q_{i} / 4 \pi \epsilon_{0} r)$.
А так как, по условию задачи, алгебраическая сумма зарядов равна нулю, то и результирующий потенциал $\phi = 0$ независимо от порядка расположения зарядов.
Рассмотрим распределение зарядов, показанное на рис. а. Напряженности $\vec{E}_{2}$ и $\vec{E}_{4}$ полей, созданных 2-м и 4-м зарядами в точке С, сонаправлены и равны по модулю: $| \vec{E}_{2} | = | \vec{E}_{4} |$. Аналогично, $| \vec{E}_{1} | = | \vec{E}_{3} |$. Поэтому напряженность результирующего поля
$\vec{E} = 2 \vec{E}_{1} + 2 \vec{E}_{2}$.
Векторы $\vec{E}_{1}$ и $\vec{E}_{2}$ также равны по модулю и направлены ортогонально друг другу (по диагоналям квадрата), значит, результирующий вектор $\vec{E}$ направлен вертикально вниз (см. рис. a) и тогда
$E = 4E_{1} \cos 45^{ \circ}$.
Напряженность поля, созданного каждым из зарядов,
$E_{i} = |Q_{i}| / ( 4 \pi \epsilon_{0} r^{2}) = |Q_{i}| / (2 \pi \epsilon_{0} a^{2})$.
Заряд $Q_{i}$ следует брать по модулю, так как знак каждого из зарядов был учтен при изображении соответствующего вектора $\vec{E}_{i}$. Окончательно
$E = 4 | Q_{i} | \cos 45^{ \circ} / (2 \pi \epsilon_{0} a^{2}) = Q \sqrt{2} /( \pi \epsilon_{0} a^{2})$.
При расположении зарядов, показанном на рис. б, $E = 0$.
