Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 3526
2017-05-27 
Тепловой двигатель работает по циклу, состоящему из изотермического, изобарного и адиабатного процессов. При изобарном процессе рабочее тело — идеальный газ — нагревается от температуры $T_{1} = 200 К$ до $T_{2} = 500 К$. Определить коэффициент полезного действия данного теплового двигателя и двигателя, работающего по циклу Карно, происходящему между максимальной и минимальной температурами данного цикла.
Решение:
В условии задачи не оговорена последовательность процессов, но поскольку изобарный процесс, по условию, — процесс нагревания, следовательно, и расширения, а тепловая машина является тепловым двигателем, то прямая, соответствующая графику этого процесса в координатах $p, V$, должна лежать выше кривых, изображающих изотермический и адиабатный процессы. После изобарного расширения 12 (рис.) газ должен адиабатно расширяться (кривая 23) до тех пор, пока температура его не будет равна начальной температуре $T_{1}$, а затем изотермическим сжатием (кривая 31) газ можно вернуть в исходное состояние. (Легко убедиться, что при любой другой последовательности процессов не будет выполняться условие задачи.)
При последовательности процессов, изображенной на рис., газ получает теплоту только в процессе 12, поэтому $Q_{1} = Q_{12}$, и отдает теплоту в процессе 31 ($Q_{2} = | Q_{31} |$. Процесс 23 происходит без теплообмена.
Тогда коэффициент полезного действия цикла, согласно определению,
$\eta = (Q_{1} - Q_{2})/Q_{1} = (Q_{12} - |Q_{31}|)/Q_{12}$. (1)
Газ идеальный, все процессы предполагаются обратимыми (фактически это предположение было сделано уже при изображении процессов на графике). Тогда $Q_{12}$ и $Q_{31}$ могут быть выражены по известным формулам для изобарного и изотермического процессов.
Коэффициент полезного действия цикла Карно найдем по известным формулам,,так как из проведенного анализа очевидно, что $T_{max} = T_{2}, T_{min} = T_{1}$.
Количество теплоты, получаемое рабочим телом при изобарном процессе,
$Q_{12} = \frac{m}{ \mu} \frac{i+2}{2} R(T_{2} - T_{1})$, (2)
где $(i + 2) R/2 = C_{p}$ — молярная теплоемкость при постоянном давлении.
Количество теплоты, отдаваемое рабочим телом при изотермическом сжатии,
$|Q_{31}| = \frac{m}{ \mu} RT_{1} ln \frac{V_{3}}{V_{1}}$. (3)
Для процесса 31 количество теплоты $Q_{31}$ пропорционально $ln (V_{1}/V_{3})$. Поскольку $V_{1} < V_{3}$, логарифм будет отрицательным, поэтому в выражении для $| Q_{31} |$ стоит $ln (V_{3}/V_{1})$.
Объемы газа и их отношения неизвестны; процесс 12 изобарный и поэтому
$\frac{V_{2}}{V_{1}} = \frac{T_{2}}{T_{1}}$. (4)
Точки графика, соответствующие состояниям 2 и 3, лежат на одной адиабате:
$\left ( \frac{V_{3}}{V_{2}} \right )^{ \gamma - 1} = \frac{T_{2}}{T_{3}}$. (5)
Учитывая, что $T_{3} = T_{1}$, и извлекая корень степени $\gamma - 1$, получаем
$\frac{V_{3}}{V_{2}} = \left ( \frac{T_{2}}{T_{1}} \right )^{1/( \gamma - 1)}$. (6)
Перемножая почленно равенства (4) и (6), имеем
$\frac{V_{3}}{V_{1}} = \left ( \frac{T_{2}}{T_{1}} \right )^{ \gamma / ( \gamma - 1)}$.
Тогда
$|Q_{31}| = \frac{m}{ \mu} RT_{1} \frac{ \gamma}{ \gamma - 1} kn \frac{T_{2}}{T_{1}}$.
Если коэффициент Пуассона выразить через число степеней свободы, то $\gamma /( \gamma - 1) = (i + 2)/2$ и
$|Q_{31}| = \frac{m}{ \mu} \frac{i+2}{2} RT_{1} ln \frac{T_{2}}{T_{1}}$. (7)
Подставим выражения (2) и (7) в (1):
$\eta = \frac{T_{2} - T_{1} - T_{1} ln \frac{T_{2}}{T_{1}}}{ T_{2} - T_{1}} = 1 - \frac{T_{1}}{T_{2} - T_{1}} ln \frac{T_{2}}{T_{1}} = 0,39$.
Коэффициент полезного действия цикла Карно между максимальной и минимальной температурами
$\eta_{к} = (T_{2} - T_{1})/T_{2} = 0,60$.
Тепловой двигатель работает по циклу, состоящему из изотермического, изобарного и адиабатного процессов. При изобарном процессе рабочее тело — идеальный газ — нагревается от температуры $T_{1} = 200 К$ до $T_{2} = 500 К$. Определить коэффициент полезного действия данного теплового двигателя и двигателя, работающего по циклу Карно, происходящему между максимальной и минимальной температурами данного цикла.
Решение:
В условии задачи не оговорена последовательность процессов, но поскольку изобарный процесс, по условию, — процесс нагревания, следовательно, и расширения, а тепловая машина является тепловым двигателем, то прямая, соответствующая графику этого процесса в координатах $p, V$, должна лежать выше кривых, изображающих изотермический и адиабатный процессы. После изобарного расширения 12 (рис.) газ должен адиабатно расширяться (кривая 23) до тех пор, пока температура его не будет равна начальной температуре $T_{1}$, а затем изотермическим сжатием (кривая 31) газ можно вернуть в исходное состояние. (Легко убедиться, что при любой другой последовательности процессов не будет выполняться условие задачи.)
При последовательности процессов, изображенной на рис., газ получает теплоту только в процессе 12, поэтому $Q_{1} = Q_{12}$, и отдает теплоту в процессе 31 ($Q_{2} = | Q_{31} |$. Процесс 23 происходит без теплообмена.
Тогда коэффициент полезного действия цикла, согласно определению,
$\eta = (Q_{1} - Q_{2})/Q_{1} = (Q_{12} - |Q_{31}|)/Q_{12}$. (1)
Газ идеальный, все процессы предполагаются обратимыми (фактически это предположение было сделано уже при изображении процессов на графике). Тогда $Q_{12}$ и $Q_{31}$ могут быть выражены по известным формулам для изобарного и изотермического процессов.
Коэффициент полезного действия цикла Карно найдем по известным формулам,,так как из проведенного анализа очевидно, что $T_{max} = T_{2}, T_{min} = T_{1}$.
Количество теплоты, получаемое рабочим телом при изобарном процессе,
$Q_{12} = \frac{m}{ \mu} \frac{i+2}{2} R(T_{2} - T_{1})$, (2)
где $(i + 2) R/2 = C_{p}$ — молярная теплоемкость при постоянном давлении.
Количество теплоты, отдаваемое рабочим телом при изотермическом сжатии,
$|Q_{31}| = \frac{m}{ \mu} RT_{1} ln \frac{V_{3}}{V_{1}}$. (3)
Для процесса 31 количество теплоты $Q_{31}$ пропорционально $ln (V_{1}/V_{3})$. Поскольку $V_{1} < V_{3}$, логарифм будет отрицательным, поэтому в выражении для $| Q_{31} |$ стоит $ln (V_{3}/V_{1})$.
Объемы газа и их отношения неизвестны; процесс 12 изобарный и поэтому
$\frac{V_{2}}{V_{1}} = \frac{T_{2}}{T_{1}}$. (4)
Точки графика, соответствующие состояниям 2 и 3, лежат на одной адиабате:
$\left ( \frac{V_{3}}{V_{2}} \right )^{ \gamma - 1} = \frac{T_{2}}{T_{3}}$. (5)
Учитывая, что $T_{3} = T_{1}$, и извлекая корень степени $\gamma - 1$, получаем
$\frac{V_{3}}{V_{2}} = \left ( \frac{T_{2}}{T_{1}} \right )^{1/( \gamma - 1)}$. (6)
Перемножая почленно равенства (4) и (6), имеем
$\frac{V_{3}}{V_{1}} = \left ( \frac{T_{2}}{T_{1}} \right )^{ \gamma / ( \gamma - 1)}$.
Тогда
$|Q_{31}| = \frac{m}{ \mu} RT_{1} \frac{ \gamma}{ \gamma - 1} kn \frac{T_{2}}{T_{1}}$.
Если коэффициент Пуассона выразить через число степеней свободы, то $\gamma /( \gamma - 1) = (i + 2)/2$ и
$|Q_{31}| = \frac{m}{ \mu} \frac{i+2}{2} RT_{1} ln \frac{T_{2}}{T_{1}}$. (7)
Подставим выражения (2) и (7) в (1):
$\eta = \frac{T_{2} - T_{1} - T_{1} ln \frac{T_{2}}{T_{1}}}{ T_{2} - T_{1}} = 1 - \frac{T_{1}}{T_{2} - T_{1}} ln \frac{T_{2}}{T_{1}} = 0,39$.
Коэффициент полезного действия цикла Карно между максимальной и минимальной температурами
$\eta_{к} = (T_{2} - T_{1})/T_{2} = 0,60$.
