Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 3525
2017-05-27 
Холодильная машина работает по обратимому циклу Карно в интервале температур $t_{1} = 27^{ \circ} С$ и $t_{2} = - 3^{ \circ} С$. Рабочее тело — азот, масса которого $m = 0,2 кг$. Найти количество теплоты, отбираемое от охлаждаемого тела, и работу внешних сил за цикл, если отношение максимального объема газа к минимальному $b = 5$.
Решение:
Холодильная машина — это машина, которая за счет работы внешних сил отнимает теплоту от охлаждаемого тела и передает ее более нагретой окружающей среде. Если холодильная машина работает по циклу Карно, то изотермическое сжатие рабочего тела, сопровождаемое работой внешних сил, происходит при более высокой температуре $T_{1}$ (рис.; участок 12). При этом рабочее тело отдает в окружающую среду, играющую роль термостата, количество теплоты $Q_{1}$ (очевидно, $Q_{1} = | Q_{12} |$ ).
На участке 34 при более низкой температуре $T_{2}$ происходит изотермическое расширение рабочего тела, при этом от охлаждаемого тела (термостат при температуре $T_{2}$) отбирается количество теплоты $Q_{2} = Q_{34}$. Поскольку речь идет об обратимом цикле Карно, для него, как всегда, справедливо соотношение
$\frac{Q_{1} - Q_{2}}{Q_{1}} = \frac{T_{1} - T_{2}}{T_{1}}$,
или
$\frac{Q_{2}}{Q_{1}} = \frac{T_{2}}{T_{1}}$. (1)
Согласно первому началу термодинамики, работа за цикл равна полному количеству теплоты, получаемому и отдаваемому за цикл:
$A = - Q_{1} + Q_{2}$.
Из графика легко видеть, что работа газа за цикл при указанном направлении процесса отрицательна. Работа внешних сил за цикл
$A^{*} = - A = Q_{1} - Q_{2}$. (2)
Искомое количество теплоты $Q_{2} = Q_{34}$. При изотермическом расширении идеального газа
$Q_{34} = A_{34} = \frac{m}{ \mu} RT_{2} ln \frac{V_{4}}{V_{3}}$. (3)
Как видно из графика, минимальный объем за цикл $V_{2}$, максимальный $V_{4}$, следовательно,
$V_{4} / V_{2} = b$. (4)
Параметры второго и третьего состояний находятся на одной адиабате, проведенной в интервале температур от $T_{1}$ к $T_{2}$. Следовательно,
$\left ( \frac{V_{2}}{V_{3}} \right )^{ \gamma - 1} = \frac{T_{2}}{T_{1}}$,
или
$\frac{V_{2}}{V_{3}} = \left ( \frac{T_{2}}{T_{1}} \right )^{1/( \gamma - 1)}$. (5)
Перемножив почленно равенства (4) и (5), получим
$\frac{V_{4}}{V_{3}} = b \left ( \frac{T_{2}}{T_{1}} \right )^{1/ ( \gamma - 1 )}$
Подставим это выражение в (3):
$Q_{34} = Q_{2} = \frac{m}{ \mu} RT_{2} \left ( lnb + \frac{1}{ \gamma - 1 } ln \frac{T_{2}}{T_{1}} \right )$.
Азот — газ двухатомный, следовательно, коэффициент Пуассона $\gamma = 1,4$ и $Q_{2} = 21,6 кДж$.
Чтобы найти работу внешних сил за цикл, выразим $Q_{1}$ из уравнения (1) и подставим полученное значение в уравнение (2):
$A^{*} = Q_{2} \left ( \frac{T_{1}}{T_{2}} - 1 \right ) = Q_{2} \frac{T_{1} - T_{2}}{T_{2}} = 2,40 кДж$. (6)
Для характеристики холодильных машин принято вводить холодильный коэффициент $\epsilon = Q_{2}/A^{*}$. Из выражения (6) следует, что для холодильной машины, рабочий цикл которой — обратимый цикл Карно, $\epsilon = T_{2}/(T_{1} - T_{2})$.
Холодильная машина работает по обратимому циклу Карно в интервале температур $t_{1} = 27^{ \circ} С$ и $t_{2} = - 3^{ \circ} С$. Рабочее тело — азот, масса которого $m = 0,2 кг$. Найти количество теплоты, отбираемое от охлаждаемого тела, и работу внешних сил за цикл, если отношение максимального объема газа к минимальному $b = 5$.
Решение:
Холодильная машина — это машина, которая за счет работы внешних сил отнимает теплоту от охлаждаемого тела и передает ее более нагретой окружающей среде. Если холодильная машина работает по циклу Карно, то изотермическое сжатие рабочего тела, сопровождаемое работой внешних сил, происходит при более высокой температуре $T_{1}$ (рис.; участок 12). При этом рабочее тело отдает в окружающую среду, играющую роль термостата, количество теплоты $Q_{1}$ (очевидно, $Q_{1} = | Q_{12} |$ ).
На участке 34 при более низкой температуре $T_{2}$ происходит изотермическое расширение рабочего тела, при этом от охлаждаемого тела (термостат при температуре $T_{2}$) отбирается количество теплоты $Q_{2} = Q_{34}$. Поскольку речь идет об обратимом цикле Карно, для него, как всегда, справедливо соотношение
$\frac{Q_{1} - Q_{2}}{Q_{1}} = \frac{T_{1} - T_{2}}{T_{1}}$,
или
$\frac{Q_{2}}{Q_{1}} = \frac{T_{2}}{T_{1}}$. (1)
Согласно первому началу термодинамики, работа за цикл равна полному количеству теплоты, получаемому и отдаваемому за цикл:
$A = - Q_{1} + Q_{2}$.
Из графика легко видеть, что работа газа за цикл при указанном направлении процесса отрицательна. Работа внешних сил за цикл
$A^{*} = - A = Q_{1} - Q_{2}$. (2)
Искомое количество теплоты $Q_{2} = Q_{34}$. При изотермическом расширении идеального газа
$Q_{34} = A_{34} = \frac{m}{ \mu} RT_{2} ln \frac{V_{4}}{V_{3}}$. (3)
Как видно из графика, минимальный объем за цикл $V_{2}$, максимальный $V_{4}$, следовательно,
$V_{4} / V_{2} = b$. (4)
Параметры второго и третьего состояний находятся на одной адиабате, проведенной в интервале температур от $T_{1}$ к $T_{2}$. Следовательно,
$\left ( \frac{V_{2}}{V_{3}} \right )^{ \gamma - 1} = \frac{T_{2}}{T_{1}}$,
или
$\frac{V_{2}}{V_{3}} = \left ( \frac{T_{2}}{T_{1}} \right )^{1/( \gamma - 1)}$. (5)
Перемножив почленно равенства (4) и (5), получим
$\frac{V_{4}}{V_{3}} = b \left ( \frac{T_{2}}{T_{1}} \right )^{1/ ( \gamma - 1 )}$
Подставим это выражение в (3):
$Q_{34} = Q_{2} = \frac{m}{ \mu} RT_{2} \left ( lnb + \frac{1}{ \gamma - 1 } ln \frac{T_{2}}{T_{1}} \right )$.
Азот — газ двухатомный, следовательно, коэффициент Пуассона $\gamma = 1,4$ и $Q_{2} = 21,6 кДж$.
Чтобы найти работу внешних сил за цикл, выразим $Q_{1}$ из уравнения (1) и подставим полученное значение в уравнение (2):
$A^{*} = Q_{2} \left ( \frac{T_{1}}{T_{2}} - 1 \right ) = Q_{2} \frac{T_{1} - T_{2}}{T_{2}} = 2,40 кДж$. (6)
Для характеристики холодильных машин принято вводить холодильный коэффициент $\epsilon = Q_{2}/A^{*}$. Из выражения (6) следует, что для холодильной машины, рабочий цикл которой — обратимый цикл Карно, $\epsilon = T_{2}/(T_{1} - T_{2})$.
