Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 3523
2017-05-27 
Один моль углекислого газа, занимавший при температуре $t_{1} = 127^{ \circ} С$ объем $V_{1} = 0,5 л$, расширяется изотермически до объема $V_{2} = 2V_{1}$. Определить начальное давление газа, работу при расширении, изменение внутренней энергии газа и количество поглощенной теплоты.
Решение:
Как известно, при нормальных условиях 1 моль идеального газа занимает объем $V_{0 \mu} = 22,4 л/моль$, в то время как, по условию задачи, 1 моль газа при температуре $T_{1}$ (значительно большей, чем $T_{0} = 273 К$) занимает объем 0,5 л. Это заставляет предполагать, что давление газа много больше атмосферного, т. е. газ нельзя считать идеальным. В таком случае давление газа следует рассчитывать по уравнению Ван-дер-Ваальса, которое для моля имеет вид
$(p + a/V^{2})(V - b) = RT$, (1)
где $V = V_{ \mu}$ — молярный объем. Работа, совершаемая газом,
$A_{12} = \int_{1}^{2} p dV$. (2)
Внутренняя энергия реального газа складывается из суммы кинетических энергий всех молекул и потенциальной энергии взаимодействия молекул, обусловленной силами притяжения между ними. Учет сил отталкивания в уравнении Ван-дер-Ваальса сводится к введению поправки $b$, постоянной для каждого газа. Согласно молекулярно-кинетической теории, это соответствует аппроксимации молекул твердыми шариками фиксированного размера. Поэтому естественно, что силам отталкивания, развивающимся при непосредственном столкновении, не может соответствовать какая-либо потенциальная энергия. Учет сил притяжения сводится к учету дополнительного давления $p^{ \prime} = a/V^{2}$, под которым находится газ Ван-дер-Ваальса.
Изменение потенциальной энергии взаимодействия молекул равно работе сил притяжения, взятой с обратным знаком. При расширении газа работа сил притяжения
$dA^{ \prime} = - p^{ \prime} dV = (a/V^{2}) dv$
(при $dV > 0$, т. е. при расширении, работа сил притяжения отрицательна). Тогда изменение потенциальной энергии
$dW_{п} = - dA^{ \prime} = (a/V^{2})dV$.
Изменение кинетической энергии всех молекул
$dW_{к} = \frac{i}{2} \frac{m}{ \mu} RdT$.
Таким образом, изменение внутренней энергии
$dU = dW_{п} + dW_{к} = \frac{a}{V^{2}} dV + \frac{i}{2} \frac{m}{ \mu} RdT$
и при переходе из состояния 1 в 2
$\Delta U_{12} = \int_{V_{1}}^{ V_{2}} \frac{a}{V^{2}} dV + \frac{i}{2} \frac{m}{ \mu} R (T_{2} - T_{1})$. (3)
Количество теплоты, полученное газом, найдем из первого начала термодинамики:
$Q_{12} = \Delta U_{12} + A_{12}$. (4)
Согласно уравнению (1), давление газа
$p = \frac{RT}{V-b} - \frac{a}{V^{2}}$. (5)
Постоянные Ван-дер-Ваальса для углекислого газа: $a = 0,36 Н \cdot м^{4}/моль^{4}; b = 4,3 \cdot 10^{-5} м^{3}/моль$. Подставив эти значения в уравнение (5) для $V = 5 \cdot 10^{-4} м^{3}/моль$, получим $P_{1} = 57 \cdot 10^{5} Па$.
Подставим выражение (5) в (2):
$A_{12} = \int_{V_{1}}^{V_{2}} \frac{RT}{V-b} dV - \int_{V_{1}}^{V_{2}} \frac{a}{V^{2}} dV$.
После интегрирования
$A_{12} = RT ln \frac{V_{2} - b}{V_{1} - b} + \frac{a}{V_{2}} - \frac{a}{V_{1}} = 2,1 кДж$.
При расчете изменения внутренней энергии [см. (3)] второе слагаемое обращается в нуль (изотермический процесс). После интегрирования первого слагаемого
$\Delta U_{12} = a \left ( \frac{1}{V_{1}} - \frac{1}{V_{2}} \right ) = 0,4 кДж$.
Количество теплоты, поглощенное газом [см. (4)], $Q_{12} = 2,5 кДж$.
Интересно сопоставить полученные результаты с тем, что дал бы расчет при использовании модели идеального газа. Для такой модели
$p_{ид} = \frac{RT}{V} = 66 \cdot 10^{5} Па$;
$\Delta U_{ид} = 0; Q_{ид} = A_{ид} = RTln \frac{V_{2}}{V_{1}} = 2,3 кДж$.
Как видно, давление на стенки сосуда данного реального газа меньше, чем идеального; это значит, что в углекислом газе силы притяжения между молекулами доминируют над силами отталкивания. Поэтому и работа при расширении реального газа оказывается меньше, чем рассчитанная для модели идеального газа. Количество теплоты, поглощенное реальным газом, наоборот, больше, чем для модели идеального газа, так как в первом случае некоторое количество теплоты расходуется на увеличение потенциальной энергии молекул, т. е. на совершение работы против сил притяжения.
Определим погрешности, допущенные при расчете начального давления и работы расширения, по формулам для идеального газа:
$\delta p_{1} = \frac{|p_{1} - p_{1ид}|}{p_{ид}} = 0,14$, т. е. 14%;
$\delta A = \frac{|A - A_{ид}|}{A_{ид}} = 0,09$, т. е. 9%;
Один моль углекислого газа, занимавший при температуре $t_{1} = 127^{ \circ} С$ объем $V_{1} = 0,5 л$, расширяется изотермически до объема $V_{2} = 2V_{1}$. Определить начальное давление газа, работу при расширении, изменение внутренней энергии газа и количество поглощенной теплоты.
Решение:
Как известно, при нормальных условиях 1 моль идеального газа занимает объем $V_{0 \mu} = 22,4 л/моль$, в то время как, по условию задачи, 1 моль газа при температуре $T_{1}$ (значительно большей, чем $T_{0} = 273 К$) занимает объем 0,5 л. Это заставляет предполагать, что давление газа много больше атмосферного, т. е. газ нельзя считать идеальным. В таком случае давление газа следует рассчитывать по уравнению Ван-дер-Ваальса, которое для моля имеет вид
$(p + a/V^{2})(V - b) = RT$, (1)
где $V = V_{ \mu}$ — молярный объем. Работа, совершаемая газом,
$A_{12} = \int_{1}^{2} p dV$. (2)
Внутренняя энергия реального газа складывается из суммы кинетических энергий всех молекул и потенциальной энергии взаимодействия молекул, обусловленной силами притяжения между ними. Учет сил отталкивания в уравнении Ван-дер-Ваальса сводится к введению поправки $b$, постоянной для каждого газа. Согласно молекулярно-кинетической теории, это соответствует аппроксимации молекул твердыми шариками фиксированного размера. Поэтому естественно, что силам отталкивания, развивающимся при непосредственном столкновении, не может соответствовать какая-либо потенциальная энергия. Учет сил притяжения сводится к учету дополнительного давления $p^{ \prime} = a/V^{2}$, под которым находится газ Ван-дер-Ваальса.
Изменение потенциальной энергии взаимодействия молекул равно работе сил притяжения, взятой с обратным знаком. При расширении газа работа сил притяжения
$dA^{ \prime} = - p^{ \prime} dV = (a/V^{2}) dv$
(при $dV > 0$, т. е. при расширении, работа сил притяжения отрицательна). Тогда изменение потенциальной энергии
$dW_{п} = - dA^{ \prime} = (a/V^{2})dV$.
Изменение кинетической энергии всех молекул
$dW_{к} = \frac{i}{2} \frac{m}{ \mu} RdT$.
Таким образом, изменение внутренней энергии
$dU = dW_{п} + dW_{к} = \frac{a}{V^{2}} dV + \frac{i}{2} \frac{m}{ \mu} RdT$
и при переходе из состояния 1 в 2
$\Delta U_{12} = \int_{V_{1}}^{ V_{2}} \frac{a}{V^{2}} dV + \frac{i}{2} \frac{m}{ \mu} R (T_{2} - T_{1})$. (3)
Количество теплоты, полученное газом, найдем из первого начала термодинамики:
$Q_{12} = \Delta U_{12} + A_{12}$. (4)
Согласно уравнению (1), давление газа
$p = \frac{RT}{V-b} - \frac{a}{V^{2}}$. (5)
Постоянные Ван-дер-Ваальса для углекислого газа: $a = 0,36 Н \cdot м^{4}/моль^{4}; b = 4,3 \cdot 10^{-5} м^{3}/моль$. Подставив эти значения в уравнение (5) для $V = 5 \cdot 10^{-4} м^{3}/моль$, получим $P_{1} = 57 \cdot 10^{5} Па$.
Подставим выражение (5) в (2):
$A_{12} = \int_{V_{1}}^{V_{2}} \frac{RT}{V-b} dV - \int_{V_{1}}^{V_{2}} \frac{a}{V^{2}} dV$.
После интегрирования
$A_{12} = RT ln \frac{V_{2} - b}{V_{1} - b} + \frac{a}{V_{2}} - \frac{a}{V_{1}} = 2,1 кДж$.
При расчете изменения внутренней энергии [см. (3)] второе слагаемое обращается в нуль (изотермический процесс). После интегрирования первого слагаемого
$\Delta U_{12} = a \left ( \frac{1}{V_{1}} - \frac{1}{V_{2}} \right ) = 0,4 кДж$.
Количество теплоты, поглощенное газом [см. (4)], $Q_{12} = 2,5 кДж$.
Интересно сопоставить полученные результаты с тем, что дал бы расчет при использовании модели идеального газа. Для такой модели
$p_{ид} = \frac{RT}{V} = 66 \cdot 10^{5} Па$;
$\Delta U_{ид} = 0; Q_{ид} = A_{ид} = RTln \frac{V_{2}}{V_{1}} = 2,3 кДж$.
Как видно, давление на стенки сосуда данного реального газа меньше, чем идеального; это значит, что в углекислом газе силы притяжения между молекулами доминируют над силами отталкивания. Поэтому и работа при расширении реального газа оказывается меньше, чем рассчитанная для модели идеального газа. Количество теплоты, поглощенное реальным газом, наоборот, больше, чем для модели идеального газа, так как в первом случае некоторое количество теплоты расходуется на увеличение потенциальной энергии молекул, т. е. на совершение работы против сил притяжения.
Определим погрешности, допущенные при расчете начального давления и работы расширения, по формулам для идеального газа:
$\delta p_{1} = \frac{|p_{1} - p_{1ид}|}{p_{ид}} = 0,14$, т. е. 14%;
$\delta A = \frac{|A - A_{ид}|}{A_{ид}} = 0,09$, т. е. 9%;
