Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 3522
2017-05-27 
0,5 моль идеального одноатомного газа нагревают от температуры $T_{1} = 250 К$ до $T_{2} = 500 К$ так, что в процессе нагрева $p/V = const$. Определить молярную теплоемкость и рассчитать количество теплоты, поглощенное газом при нагревании.
Решение:
Рассмотрим график процесса в координатах $p, V$ и сравним его с изобарой, заключенной в тех же пределах температур (рис.). Поскольку состояния 2 и L лежат на одной изотерме ($T_{1} = T_{2}$), а газ идеальный, то изменения внутренней энергии в процессах 12 и 1L одинаковы:
$\Delta U_{12} = \Delta U_{1L} = \Delta U_{p}$.
Работа, совершаемая газом в процессе 12, меньше, чем работа, совершаемая газом при изобарном нагреве. Графически работа $A_{12}$ численно равна площади, ограниченной графиком 12, осью абсцисс и ординатами $V = V_{1}$ и $V = V_{2}$. Работа $A_{1L}$ численно равна площади, ограниченной графиком 1L, осью абсцисс и ординатами $V = V_{1}$ и $V = V_{L}$.
Следовательно, количество теплоты, поглощенное газом в процессе 12, меньше, чем при изобарном процессе, поэтому и теплоемкость газа при этом процессе меньше, чем при изобарном, но больше, чем при изохорном процессе, так как газ совершает работу.
Молярная теплоемкость этого процесса может быть найдена непосредственно из первого начала термодинамики, записанного в дифференциальной форме:
$\delta Q = dU + \delta A = \frac{i}{2} \frac{m}{ \mu} RdT + pdV$. (1)
С другой стороны, из определения молярной теплоемкости
$\delta Q = \frac{m}{ \mu} CdT$, (2)
где $C$ — молярная теплоемкость заданного процесса.
Приравнивая правые части выражений (1) и (2), получаем
$C = \frac{i}{2}R + \frac{m}{ \mu} p \frac{dV}{dT}$. (3)
Второе слагаемое может быть найдено из уравнения заданного процесса и уравнения состояния газа.
Подставим выражение давления, полученное из уравнения Клапейрона — Менделеева $p = mRT/( \mu V)$, поочередно в (3) и в уравнение процесса $p/V = const$:
$C = \frac{i}{2}R + R \frac{T}{V} \frac{dV}{dT}$, (4)
$V^{2} /T = const$. (5)
Чтобы найти $dV/dT$, продифференцируем выражение (5) по переменной $T$:
$\frac{2V (dV/dT)T - V^{2}}{T^{2}} = 0$,
откуда
$\frac{dV}{dT} = \frac{1}{2} \frac{V}{T}$. (6)
Подставим выражение (6) в (4):
$C = \frac{i}{2} R + \frac{R}{2} = \frac{i+1}{2} R$.
Искомая молярная теплоемкость постоянна, причем $C_{V} < C < C{p}$. Рассматриваемый газ — одноатомный ($i = 3$). Тогда $C = 16,6 Дж/(моль \cdot К)$.
Количество теплоты, поглощенное газом при нагревании,
$Q_{12} = \int_{T_{1}}^{T_{2}} \delta Q = \frac{m}{ \mu} C (T_{2} - T_{1}) = 2,1 кДж$.
0,5 моль идеального одноатомного газа нагревают от температуры $T_{1} = 250 К$ до $T_{2} = 500 К$ так, что в процессе нагрева $p/V = const$. Определить молярную теплоемкость и рассчитать количество теплоты, поглощенное газом при нагревании.
Решение:
Рассмотрим график процесса в координатах $p, V$ и сравним его с изобарой, заключенной в тех же пределах температур (рис.). Поскольку состояния 2 и L лежат на одной изотерме ($T_{1} = T_{2}$), а газ идеальный, то изменения внутренней энергии в процессах 12 и 1L одинаковы:
$\Delta U_{12} = \Delta U_{1L} = \Delta U_{p}$.
Работа, совершаемая газом в процессе 12, меньше, чем работа, совершаемая газом при изобарном нагреве. Графически работа $A_{12}$ численно равна площади, ограниченной графиком 12, осью абсцисс и ординатами $V = V_{1}$ и $V = V_{2}$. Работа $A_{1L}$ численно равна площади, ограниченной графиком 1L, осью абсцисс и ординатами $V = V_{1}$ и $V = V_{L}$.
Следовательно, количество теплоты, поглощенное газом в процессе 12, меньше, чем при изобарном процессе, поэтому и теплоемкость газа при этом процессе меньше, чем при изобарном, но больше, чем при изохорном процессе, так как газ совершает работу.
Молярная теплоемкость этого процесса может быть найдена непосредственно из первого начала термодинамики, записанного в дифференциальной форме:
$\delta Q = dU + \delta A = \frac{i}{2} \frac{m}{ \mu} RdT + pdV$. (1)
С другой стороны, из определения молярной теплоемкости
$\delta Q = \frac{m}{ \mu} CdT$, (2)
где $C$ — молярная теплоемкость заданного процесса.
Приравнивая правые части выражений (1) и (2), получаем
$C = \frac{i}{2}R + \frac{m}{ \mu} p \frac{dV}{dT}$. (3)
Второе слагаемое может быть найдено из уравнения заданного процесса и уравнения состояния газа.
Подставим выражение давления, полученное из уравнения Клапейрона — Менделеева $p = mRT/( \mu V)$, поочередно в (3) и в уравнение процесса $p/V = const$:
$C = \frac{i}{2}R + R \frac{T}{V} \frac{dV}{dT}$, (4)
$V^{2} /T = const$. (5)
Чтобы найти $dV/dT$, продифференцируем выражение (5) по переменной $T$:
$\frac{2V (dV/dT)T - V^{2}}{T^{2}} = 0$,
откуда
$\frac{dV}{dT} = \frac{1}{2} \frac{V}{T}$. (6)
Подставим выражение (6) в (4):
$C = \frac{i}{2} R + \frac{R}{2} = \frac{i+1}{2} R$.
Искомая молярная теплоемкость постоянна, причем $C_{V} < C < C{p}$. Рассматриваемый газ — одноатомный ($i = 3$). Тогда $C = 16,6 Дж/(моль \cdot К)$.
Количество теплоты, поглощенное газом при нагревании,
$Q_{12} = \int_{T_{1}}^{T_{2}} \delta Q = \frac{m}{ \mu} C (T_{2} - T_{1}) = 2,1 кДж$.
