Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 3521
2017-05-27 
Двухатомный идеальный газ, занимавший при давлении $p_{1} = 2 \cdot 10^{5} Па$ объем $V_{1} = 6 л$, расширяется до объема вдвое большего, чем начальный. Процесс расширения происходит так, что $pV^{k} = const$, где $k = 1,2$. Найти изменение внутренней энергии газа и работу, совершенную газом при расширении. Рассчитать молярную теплоемкость газа при этом процессе.
Решение:
Качественный анализ происходящего процесса удобнее всего провести, сравнивая график этого процесса в координатах $p,V$ с изотермой и адиабатой при расширении из одного и того же начального состояния до одинакового конечного объема (рис.).
В рассматриваемом процессе коэффициент $k > 1$, следовательно, график располагается ниже изотермы — это значит, что процесс 12 сопровождается понижением температуры ($\Delta T_{12} < 0$) уменьшением внутренней энергии ($\Delta U_{12} < 0$).
С другой стороны, коэффициент $k < \gamma = C_{p}/C_{v}$, следовательно, график этого процесса должен располагаться выше графика адиабаты. Это значит, что убыль внутренней энергии $| \Delta U_{12} |$ меньше, чем убыль внутренней энергии при адиабатном процессе ($| \Delta U_{12} | < | \Delta U_{ад} |$). Работа $A_{12}$ больше, чем работа, совершаемая газом при отсутствии теплообмена ($A_{12} > A_{ад}$). Поскольку при адиабатном процессе $| \Delta U_{ад} | = A_{ад}$, то
$| \Delta U_{ад} | < A_{12}$.
Это значит, что количество теплоты, необходимое для проведения данного расширения,
$Q_{12} = A_{12} - | \Delta U_{12} | > 0$,
т. е. газ при таком процессе получает теплоту, а температура его при этом понижается — теплоемкость газа отрицательна. Таким образом, на совершение газом работы против Рис. внешних сил расходуется и сообщаемое газу количество теплоты, и часть его внутренней энергии.
Изменение внутренней энергии, как обычно,
$\Delta U_{12} = \frac{i}{2} \frac{m}{ \mu} R( T_{2} - T_{1})$. (1)
причем входящие в это выражение неизвестные величины можно найти из уравнения Клапейрона — Менделеева и уравнения процесса.
Работа рассчитывается по формуле
$A_{12} = \int_{V_{1}}^{V_{2}} pdV$, (2)
при этом $p(V)$ задано уравнением процесса.
На основании первого начала термодинамики
$Q_{12} = A_{12} + \Delta U_{12}$. (3)
Если полученное для данного процесса выражение $Q_{12}$ прямо пропорционально разности температур $\Delta T_{12} = T_{2} - T_{1}$, то теплоемкость газа постоянна (процесс политропный). Тогда, сравнив выражение (3) с равенством
$Q_{12} = \frac{m}{ \mu} C (T_{2} - T_{1})$, (4)
получим молярную теплоемкость процесса.
Правда, она может быть найдена и непосредственно из дифференциального уравнения первого начала термодинамики, уравнения состояния и уравнения данного процесса. В настоящей задаче используется первый способ.
Согласно выражению (1),
$\Delta U_{12} = \frac{i}{2} \left ( \frac{m}{ \mu} RT_{2} - \frac{m}{ \mu} RT_{1} \right ) = \frac{i}{2} (p_{2}V_{2} - p_{1}V_{1})$. (5)
Конечное давление газа по заданному уравнению процесса
$p_{2} = p_{1} (V_{1} / V_{2})^{k} = 8,7 \cdot 10^{4} Па$.
Рассматриваемый газ — двухатомный ($i = 5$). Изменение его внутренней энергии [см. (5)] $\Delta U_{12} = - 400 Дж$.
Чтобы найти работу, подставим в равенство (2) выражение для давления. Согласно уравнению процесса, $pV^{k} = const = p_{1}V_{1}^{ k}$. Отсюда $p = p_{1}V_{1}^{k}/V^{k}$. Поскольку $p_{1}$ и $V_{1}$ — фиксированные значения давления и объема в начальном состоянии, то $p_{1}V_{1}^{k}$ можно вынести за знак интеграла. Тогда
$A_{12} = p_{1}V_{1}^{k} \int_{V_{1}}^{V_{2}} \frac{dv}{V^{k}} = p_{1}V_{1}^{k} \left [ \frac{1}{k-1} \left ( \frac{1}{V_{1}^{k-1}} - \frac{1}{V_{2}^{k-1}} \right ) \right ]$.
Внесем произведение $p_{1}V_{1}^{k}$ в скобки, причем при умножении на второе слагаемое (вычитаемое) запишем его в виде $p_{2}V_{2}^{k}$. Тогда
$A_{12} = \frac{1}{k-1} (p_{1}V_{1} - p_{2}V_{2}) = 780 Дж$. (6)
Подставим выражения (5) и (6) в (3):
$Q_{12} = \frac{i}{2} (p_{2}V_{2} - p_{1}V_{1}) + \frac{1}{k-1} (p_{1}V_{1} - p_{2}V_{2})$,
или
$Q_{12} = \left ( \frac{i}{2} - \frac{1}{k-1} \right ) (p_{2}V_{2} - p_{1}V_{1})$.
Используя уравнение Клапейрона — Менделеева, получим
$Q_{12} = \frac{m}{ \mu} \left ( \frac{i}{2} - \frac{1}{k-1} \right ) R(T_{2} - T_{1})$,
т. е. количество теплоты прямо пропорционально разности температур — молярная теплоемкость процесса постоянна. Сравнивая это выражение с равенством (4), получим
$C_{12} = \left ( \frac{i}{2} - \frac{1}{k-1} \right ) R = - 21 Дж/(моль \cdot К)$.
Как известно, коэффициент Пуассона $\gamma = (i + 2)/i$, следовательно, $\gamma - 1 = 2/i$ и $i/2 = 1/( \gamma - 1)$. Тогда
$C = \left ( \frac{1}{ \gamma - 1} - \frac{1}{k-1} \right ) R < 0 $, если $1 < k < \gamma$.
Двухатомный идеальный газ, занимавший при давлении $p_{1} = 2 \cdot 10^{5} Па$ объем $V_{1} = 6 л$, расширяется до объема вдвое большего, чем начальный. Процесс расширения происходит так, что $pV^{k} = const$, где $k = 1,2$. Найти изменение внутренней энергии газа и работу, совершенную газом при расширении. Рассчитать молярную теплоемкость газа при этом процессе.
Решение:
Качественный анализ происходящего процесса удобнее всего провести, сравнивая график этого процесса в координатах $p,V$ с изотермой и адиабатой при расширении из одного и того же начального состояния до одинакового конечного объема (рис.).
В рассматриваемом процессе коэффициент $k > 1$, следовательно, график располагается ниже изотермы — это значит, что процесс 12 сопровождается понижением температуры ($\Delta T_{12} < 0$) уменьшением внутренней энергии ($\Delta U_{12} < 0$).
С другой стороны, коэффициент $k < \gamma = C_{p}/C_{v}$, следовательно, график этого процесса должен располагаться выше графика адиабаты. Это значит, что убыль внутренней энергии $| \Delta U_{12} |$ меньше, чем убыль внутренней энергии при адиабатном процессе ($| \Delta U_{12} | < | \Delta U_{ад} |$). Работа $A_{12}$ больше, чем работа, совершаемая газом при отсутствии теплообмена ($A_{12} > A_{ад}$). Поскольку при адиабатном процессе $| \Delta U_{ад} | = A_{ад}$, то
$| \Delta U_{ад} | < A_{12}$.
Это значит, что количество теплоты, необходимое для проведения данного расширения,
$Q_{12} = A_{12} - | \Delta U_{12} | > 0$,
т. е. газ при таком процессе получает теплоту, а температура его при этом понижается — теплоемкость газа отрицательна. Таким образом, на совершение газом работы против Рис. внешних сил расходуется и сообщаемое газу количество теплоты, и часть его внутренней энергии.
Изменение внутренней энергии, как обычно,
$\Delta U_{12} = \frac{i}{2} \frac{m}{ \mu} R( T_{2} - T_{1})$. (1)
причем входящие в это выражение неизвестные величины можно найти из уравнения Клапейрона — Менделеева и уравнения процесса.
Работа рассчитывается по формуле
$A_{12} = \int_{V_{1}}^{V_{2}} pdV$, (2)
при этом $p(V)$ задано уравнением процесса.
На основании первого начала термодинамики
$Q_{12} = A_{12} + \Delta U_{12}$. (3)
Если полученное для данного процесса выражение $Q_{12}$ прямо пропорционально разности температур $\Delta T_{12} = T_{2} - T_{1}$, то теплоемкость газа постоянна (процесс политропный). Тогда, сравнив выражение (3) с равенством
$Q_{12} = \frac{m}{ \mu} C (T_{2} - T_{1})$, (4)
получим молярную теплоемкость процесса.
Правда, она может быть найдена и непосредственно из дифференциального уравнения первого начала термодинамики, уравнения состояния и уравнения данного процесса. В настоящей задаче используется первый способ.
Согласно выражению (1),
$\Delta U_{12} = \frac{i}{2} \left ( \frac{m}{ \mu} RT_{2} - \frac{m}{ \mu} RT_{1} \right ) = \frac{i}{2} (p_{2}V_{2} - p_{1}V_{1})$. (5)
Конечное давление газа по заданному уравнению процесса
$p_{2} = p_{1} (V_{1} / V_{2})^{k} = 8,7 \cdot 10^{4} Па$.
Рассматриваемый газ — двухатомный ($i = 5$). Изменение его внутренней энергии [см. (5)] $\Delta U_{12} = - 400 Дж$.
Чтобы найти работу, подставим в равенство (2) выражение для давления. Согласно уравнению процесса, $pV^{k} = const = p_{1}V_{1}^{ k}$. Отсюда $p = p_{1}V_{1}^{k}/V^{k}$. Поскольку $p_{1}$ и $V_{1}$ — фиксированные значения давления и объема в начальном состоянии, то $p_{1}V_{1}^{k}$ можно вынести за знак интеграла. Тогда
$A_{12} = p_{1}V_{1}^{k} \int_{V_{1}}^{V_{2}} \frac{dv}{V^{k}} = p_{1}V_{1}^{k} \left [ \frac{1}{k-1} \left ( \frac{1}{V_{1}^{k-1}} - \frac{1}{V_{2}^{k-1}} \right ) \right ]$.
Внесем произведение $p_{1}V_{1}^{k}$ в скобки, причем при умножении на второе слагаемое (вычитаемое) запишем его в виде $p_{2}V_{2}^{k}$. Тогда
$A_{12} = \frac{1}{k-1} (p_{1}V_{1} - p_{2}V_{2}) = 780 Дж$. (6)
Подставим выражения (5) и (6) в (3):
$Q_{12} = \frac{i}{2} (p_{2}V_{2} - p_{1}V_{1}) + \frac{1}{k-1} (p_{1}V_{1} - p_{2}V_{2})$,
или
$Q_{12} = \left ( \frac{i}{2} - \frac{1}{k-1} \right ) (p_{2}V_{2} - p_{1}V_{1})$.
Используя уравнение Клапейрона — Менделеева, получим
$Q_{12} = \frac{m}{ \mu} \left ( \frac{i}{2} - \frac{1}{k-1} \right ) R(T_{2} - T_{1})$,
т. е. количество теплоты прямо пропорционально разности температур — молярная теплоемкость процесса постоянна. Сравнивая это выражение с равенством (4), получим
$C_{12} = \left ( \frac{i}{2} - \frac{1}{k-1} \right ) R = - 21 Дж/(моль \cdot К)$.
Как известно, коэффициент Пуассона $\gamma = (i + 2)/i$, следовательно, $\gamma - 1 = 2/i$ и $i/2 = 1/( \gamma - 1)$. Тогда
$C = \left ( \frac{1}{ \gamma - 1} - \frac{1}{k-1} \right ) R < 0 $, если $1 < k < \gamma$.
