Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 3516
2017-05-27 
Между стенками дьюаровского сосуда находится воздух при температуре $t_{1} = 17^{ \circ} С$ и давлении $p_{1} = 0,03 Па$. Расстояние между стенками сосуда $l = 0,8 см$, площадь наружных стенок $S = 1600 см^{2}$ (рис.). В сосуд наливают жидкий воздух, находящийся при температуре $t_{2} = - 183^{ \circ} С$. Определить: 1) давление воздуха, находящегося между стенками дьюаровского сосуда; 2) количество теплоты, которое будет подводиться к внутренней стенке за 1 с. Эффективный диаметр молекул воздуха приближенно равен эффективному диаметру молекул азота: $d = 3,7 \cdot 10^{-10} м$. Температуры внутренней и наружной стенок дьюаровского сосуда считать постоянными по времени.
Решение:
Воздух между стенками дьюаровского сосуда, после того как в сосуд налит жидкий воздух, находится в неравновесном состоянии, давление его не может быть рассчитано ни по уравнению состояния, ни по основному уравнению молекулярно-кинетической теории. Начальное давление соответствует вакууму, т. е. такой высокой степени разрежения, когда молекулы сталкиваются только со стенками сосуда и практически не сталкиваются друг с другом.
Это утверждение можно проверить, рассчитав длину свободного пробега по формуле
$\lambda = \frac{1}{x \sqrt{2} d^{2} \langle n \rangle}$, (1)
где $\langle n \rangle $ — средняя концентрация молекул, равная концентрации в начальном состоянии. При достижении вакуума длина свободного пробега должна быть равна (или больше) расстоянию $l$ между стенками сосуда.
В этом случае для определения давления надо подсчитать изменение импульса $\Delta \vec{P}$ молекул, которые за некоторый промежуток времени $\Delta t$ ударятся о стенку (например, о холодную внутреннюю стенку). Средняя (за выбранный промежуток времени) сила $\langle \vec{f} \rangle $, действующая на стенку, равна и противоположна средней силе $\langle \vec{f}_{1} \rangle$, действующей на молекулы, которая может быть определена по второму закону Ньютона:
$\langle \vec{f} \rangle \Delta t = - \langle \vec{f}_{1} \rangle \Delta t = - \Delta \vec{P}$. (2)
Количество теплоты, полученное холодной стенкой, не может быть в случае вакуума найдено по закону Фурье через теплопроводность и градиент температуры. Для вычисления количества теплоты $Q$ надо определить изменение кинетической энергии всех молекул, ударившихся за время $\Delta t$ о холодную стенку:
$Q = | \Delta W|$. (3)
Для расчетов по уравнениям (2) и (3) надо прежде всего найти число $\Delta N$ ударов, испытываемых рассматриваемой стенкой за промежуток времени $\Delta t$. В направлении, нормальном к боковым стенкам сосуда, движется вследствие полной хаотичности движения молекул $1/3$ общего числа $N$ молекул, причем эти молекулы образуют два встречных потока, летящих с разными скоростями $v_{1}$ и $v_{2}$, зависящими от температуры той стенки, от которой летят молекулы. Поскольку «к стенке» и «от стенки» молекулы движутся с разными скоростями, промежуток времени $\Delta t$ следует выбрать настолько большим, чтобы о стенку успело удариться не только большое число молекул, но и каждая из них успела удариться много раз, т. е. успела много раз пройти расстояние $l$ в обоих направлениях. Если каждая молекула ударится о стенку $\Delta z$ раз, то полное число ударов, испытываемое стенкой за промежуток времени $\Delta t$,
$\Delta N = N \Delta z /3$.
Тогда уравнения (2) и (3) запишем в таком виде:
$\langle \vec{f} \rangle \Delta t = \delta \vec{P}_{0} N \Delta x / 3 $, (4)
$Q = | \delta W_{0} | N \Delta x / 3$, (5)
где $\delta \vec{P}_{0}$ и $\delta W_{0}$ — изменения импульса и кинетической энергии одной молекулы при ударе о внутреннюю стенку. [Знак модуля в (3) и (5) объясняется тем, что количество теплоты, получаемое стенкой, $Q > 0$, а при ударе о внутреннюю стенку молекулы будут отскакивать с меньшей скоростью, поэтому $\Delta W < 0, \delta W_{0} < 0$.]
В уравнения (4) и (5) входят величины, которые зависят от значения скоростей молекул до и после удара. Найти эти скорости можно только зная механизм соударения молекул со стенкой.
Предположим, что на поверхности каждой стенки существует слой адсорбированных молекул, средняя кинетическая энергия которых равна средней кинетической энергии молекул самой стенки. Слой этот находится в динамическом равновесии с молекулами газа: молекулы, подлетающие к стенке, «прилипают» к ней, одновременно из слоя вылетают, «испаряются» молекулы, скорость которых может быть рассчитана как среднеквадратичная:
$v_{кв} = \sqrt{3kT/m_{0}} = \sqrt{3RT/ \mu}$, (6)
где $T$ — температура стенки.
Импульс силы, испытываемый стенкой, и получаемая ею энергия при таком «обмене» молекул такие же, как при ударе и отражении с соответствующим изменением скоростей. Очевидно, что если температуры стенок одинаковы, то все явление протекает, как при упругом ударе.
1.Найдем прежде всего число $\Delta z$ ударов одной молекулы о рассматриваемую стенку и общее число $N$ всех молекул.
Если скорость молекулы до удара о холодную стенку $\vec{v}_{1}$, после удара $\vec{v}_{2}$, то на пролет от холодной стенки к теплой и обратно каждая молекула тратит время $\tau = l/v_{1} + l/v_{2}$. Тогда
$\Delta z = \frac{ \Delta t}{ \tau} = \frac{ \Delta t v_{1} v_{2}}{ l (v_{1} + v_{2})}$. (7)
Общее число молекул $N = nSl$, причем концентрация $n$ может быть определена из уравнения Клапейрона — Менделеева для начального состояния: $p{1} = nkT_{1}$. Тогда
$N = p_{1}Sl/(kT_{1})$. (8)
Для расчета давления введем ось ОХ, нормальную боковым стенкам и направленную к внутренней стенке. Тогда
$u_{1x} = v_{1}, v_{2x} = - v_{2}, \delta P_{0x} = - m_{0}(v_{1} + v_{2})$.
С учетом (7) и (8) уравнение (4) можно записать в скалярном виде
$\langle f_{x} \rangle \Delta t = m_{0}(v_{1} + v_{2}) \frac{p_{1}Sl}{3kT_{1}} \frac{v_{1}v_{2} \Delta t}{l(v_{1} +v_{2})}$.
Определив скорости $v_{1}$ и $v_{2}$ [см. (6)], получим
$p = \langle f \rangle_{x}/S = p_{1} \sqrt{T_{2}/T_{1}} = 0,017 Па$.
2. Средняя кинетическая энергия молекулы до удара о холодную стенку определяется температурой $T_{1}$ теплой стенки, после удара — температурой $T_{2}$ холодной стенки:
$\delta \langle W_{0} \rangle = ik(T_{2} - T_{1})/2$,
где $i = 5$ — число степеней свободы.
Уравнение (5) с учетом (7) и (8) позволяет найти
$Q = \frac{i}{2} k (T_{1} - T_{2}) \frac{p_{1}Sl}{3kT_{1}} \frac{v_{1}v_{2} \Delta t}{l(v_{1} + v_{2})}$,
тогда
$\frac{Q}{ \Delta t} = \frac{i}{6} \frac{p_{1}}{T_{1}} S ( \sqrt{T_{1}} - \sqrt{T_{2}}) \sqrt{ \frac{3RT_{1}T_{2}}{ \mu}} = 0,49 Дж/с$.
Между стенками дьюаровского сосуда находится воздух при температуре $t_{1} = 17^{ \circ} С$ и давлении $p_{1} = 0,03 Па$. Расстояние между стенками сосуда $l = 0,8 см$, площадь наружных стенок $S = 1600 см^{2}$ (рис.). В сосуд наливают жидкий воздух, находящийся при температуре $t_{2} = - 183^{ \circ} С$. Определить: 1) давление воздуха, находящегося между стенками дьюаровского сосуда; 2) количество теплоты, которое будет подводиться к внутренней стенке за 1 с. Эффективный диаметр молекул воздуха приближенно равен эффективному диаметру молекул азота: $d = 3,7 \cdot 10^{-10} м$. Температуры внутренней и наружной стенок дьюаровского сосуда считать постоянными по времени.
Решение:
Воздух между стенками дьюаровского сосуда, после того как в сосуд налит жидкий воздух, находится в неравновесном состоянии, давление его не может быть рассчитано ни по уравнению состояния, ни по основному уравнению молекулярно-кинетической теории. Начальное давление соответствует вакууму, т. е. такой высокой степени разрежения, когда молекулы сталкиваются только со стенками сосуда и практически не сталкиваются друг с другом.
Это утверждение можно проверить, рассчитав длину свободного пробега по формуле
$\lambda = \frac{1}{x \sqrt{2} d^{2} \langle n \rangle}$, (1)
где $\langle n \rangle $ — средняя концентрация молекул, равная концентрации в начальном состоянии. При достижении вакуума длина свободного пробега должна быть равна (или больше) расстоянию $l$ между стенками сосуда.
В этом случае для определения давления надо подсчитать изменение импульса $\Delta \vec{P}$ молекул, которые за некоторый промежуток времени $\Delta t$ ударятся о стенку (например, о холодную внутреннюю стенку). Средняя (за выбранный промежуток времени) сила $\langle \vec{f} \rangle $, действующая на стенку, равна и противоположна средней силе $\langle \vec{f}_{1} \rangle$, действующей на молекулы, которая может быть определена по второму закону Ньютона:
$\langle \vec{f} \rangle \Delta t = - \langle \vec{f}_{1} \rangle \Delta t = - \Delta \vec{P}$. (2)
Количество теплоты, полученное холодной стенкой, не может быть в случае вакуума найдено по закону Фурье через теплопроводность и градиент температуры. Для вычисления количества теплоты $Q$ надо определить изменение кинетической энергии всех молекул, ударившихся за время $\Delta t$ о холодную стенку:
$Q = | \Delta W|$. (3)
Для расчетов по уравнениям (2) и (3) надо прежде всего найти число $\Delta N$ ударов, испытываемых рассматриваемой стенкой за промежуток времени $\Delta t$. В направлении, нормальном к боковым стенкам сосуда, движется вследствие полной хаотичности движения молекул $1/3$ общего числа $N$ молекул, причем эти молекулы образуют два встречных потока, летящих с разными скоростями $v_{1}$ и $v_{2}$, зависящими от температуры той стенки, от которой летят молекулы. Поскольку «к стенке» и «от стенки» молекулы движутся с разными скоростями, промежуток времени $\Delta t$ следует выбрать настолько большим, чтобы о стенку успело удариться не только большое число молекул, но и каждая из них успела удариться много раз, т. е. успела много раз пройти расстояние $l$ в обоих направлениях. Если каждая молекула ударится о стенку $\Delta z$ раз, то полное число ударов, испытываемое стенкой за промежуток времени $\Delta t$,
$\Delta N = N \Delta z /3$.
Тогда уравнения (2) и (3) запишем в таком виде:
$\langle \vec{f} \rangle \Delta t = \delta \vec{P}_{0} N \Delta x / 3 $, (4)
$Q = | \delta W_{0} | N \Delta x / 3$, (5)
где $\delta \vec{P}_{0}$ и $\delta W_{0}$ — изменения импульса и кинетической энергии одной молекулы при ударе о внутреннюю стенку. [Знак модуля в (3) и (5) объясняется тем, что количество теплоты, получаемое стенкой, $Q > 0$, а при ударе о внутреннюю стенку молекулы будут отскакивать с меньшей скоростью, поэтому $\Delta W < 0, \delta W_{0} < 0$.]
В уравнения (4) и (5) входят величины, которые зависят от значения скоростей молекул до и после удара. Найти эти скорости можно только зная механизм соударения молекул со стенкой.
Предположим, что на поверхности каждой стенки существует слой адсорбированных молекул, средняя кинетическая энергия которых равна средней кинетической энергии молекул самой стенки. Слой этот находится в динамическом равновесии с молекулами газа: молекулы, подлетающие к стенке, «прилипают» к ней, одновременно из слоя вылетают, «испаряются» молекулы, скорость которых может быть рассчитана как среднеквадратичная:
$v_{кв} = \sqrt{3kT/m_{0}} = \sqrt{3RT/ \mu}$, (6)
где $T$ — температура стенки.
Импульс силы, испытываемый стенкой, и получаемая ею энергия при таком «обмене» молекул такие же, как при ударе и отражении с соответствующим изменением скоростей. Очевидно, что если температуры стенок одинаковы, то все явление протекает, как при упругом ударе.
1.Найдем прежде всего число $\Delta z$ ударов одной молекулы о рассматриваемую стенку и общее число $N$ всех молекул.
Если скорость молекулы до удара о холодную стенку $\vec{v}_{1}$, после удара $\vec{v}_{2}$, то на пролет от холодной стенки к теплой и обратно каждая молекула тратит время $\tau = l/v_{1} + l/v_{2}$. Тогда
$\Delta z = \frac{ \Delta t}{ \tau} = \frac{ \Delta t v_{1} v_{2}}{ l (v_{1} + v_{2})}$. (7)
Общее число молекул $N = nSl$, причем концентрация $n$ может быть определена из уравнения Клапейрона — Менделеева для начального состояния: $p{1} = nkT_{1}$. Тогда
$N = p_{1}Sl/(kT_{1})$. (8)
Для расчета давления введем ось ОХ, нормальную боковым стенкам и направленную к внутренней стенке. Тогда
$u_{1x} = v_{1}, v_{2x} = - v_{2}, \delta P_{0x} = - m_{0}(v_{1} + v_{2})$.
С учетом (7) и (8) уравнение (4) можно записать в скалярном виде
$\langle f_{x} \rangle \Delta t = m_{0}(v_{1} + v_{2}) \frac{p_{1}Sl}{3kT_{1}} \frac{v_{1}v_{2} \Delta t}{l(v_{1} +v_{2})}$.
Определив скорости $v_{1}$ и $v_{2}$ [см. (6)], получим
$p = \langle f \rangle_{x}/S = p_{1} \sqrt{T_{2}/T_{1}} = 0,017 Па$.
2. Средняя кинетическая энергия молекулы до удара о холодную стенку определяется температурой $T_{1}$ теплой стенки, после удара — температурой $T_{2}$ холодной стенки:
$\delta \langle W_{0} \rangle = ik(T_{2} - T_{1})/2$,
где $i = 5$ — число степеней свободы.
Уравнение (5) с учетом (7) и (8) позволяет найти
$Q = \frac{i}{2} k (T_{1} - T_{2}) \frac{p_{1}Sl}{3kT_{1}} \frac{v_{1}v_{2} \Delta t}{l(v_{1} + v_{2})}$,
тогда
$\frac{Q}{ \Delta t} = \frac{i}{6} \frac{p_{1}}{T_{1}} S ( \sqrt{T_{1}} - \sqrt{T_{2}}) \sqrt{ \frac{3RT_{1}T_{2}}{ \mu}} = 0,49 Дж/с$.
