Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 3515
2017-05-27 
На высоте $h = 20 см$ над горизонтальной трансмиссионной лентой, движущейся со скоростью $v_{1} = 70 м/с$, параллельно ей подвешена пластинка площадью $S = 4 см^{2}$. Какую силу надо приложить к этой пластинке, чтобы она оставалась неподвижной? Вязкость воздуха при нормальных условиях $\eta_{0} = 1,7 \cdot 10^{-5} кг/(м \cdot с)$. В условиях опыта температура $t = 27^{ \circ} С$, давление атмосферное (рис.).
Решение:
Благодаря явлению внутреннего трения на слой воздуха, примыкающий к пластинке (адсорбированный пластинкой), со стороны движущихся слоев действует сила трения. Пластинка будет неподвижна, если приложенная сила $\vec{F}$ и сила трения $\vec{F}_{тр}$ скомпенсированы:
$\vec{F} = - \vec{F}_{тр}, F = F_{тр}$.
Сила трения может быть найдена по уравнению Ньютона:
$F_{тр} = \eta |dv / dx | S$, (1)
где $dv/dx$ — производная скорости и направленного движения слоя по координате $x$, причем ось ОХ перпендикулярна плоскостям трансмиссии и пластинки и направлена от трансмиссии к пластинке.
По условию задачи, давление атмосферное, это значит, что длина свободного пробега молекул много меньше расстояния $h$, поэтому вязкость может быть рассчитана по формуле
$\eta = \frac{1}{3} \langle v \rangle \lambda \rho = \frac{1}{3} \sqrt{ \frac{8RT}{ \pi \mu}} \frac{1}{ \sqrt{2} \pi d^{2} n} \frac{ \mu n}{N_{A}}$.
Здесь $\langle v \rangle $ — средняя скорость теплового движения молекул; $\lambda$ — средняя длина свободного пробега; $\rho$ — плотность газа.
Как видно, вязкость зависит только от природы газа (эффективного диаметра $d$ молекул, молярной массы $\mu$) и температуры. Поэтому во всем пространстве между трансмиссией и пластинкой $\eta = const$ и значение $\eta$ при заданных условиях связано со значением $\eta_{0}$ при нормальных условиях соотношением
$\eta / \eta_{0} = \sqrt{T/T_{0}}$, (2)
где $T = 300 К; T_{0} = 273 К$.
Выражение (1) может быть применено к любому промежуточному слою площадью $S$, расположенному между трансмиссией и пластинкой. Из закона сохранения импульса следует, что сила трения, действующая на любой из этих промежуточных слоев, должна быть одинаковой, следовательно, $dv/dx = const$ и значение этой производной может быть определено из граничных условий.
Равенство (2) позволяет определить вязкость
$\eta = \eta_{0} \sqrt{T/T_{0}}$. (3)
Поскольку производная $dv/dx = const$, ее можно заменить отношением изменения скорости $\Delta v$ к приращению координаты $\Delta x$. По условию, $\Delta v = - v_{1}, \Delta x = h$. Тогда
$\frac{dv}{dx} = - \frac{v_{1}}{h}$. (4)
Как и следовало ожидать, производная $dv/dx < 0$. Подставляя выражения (3) и (4) в уравнение (1), получим
$F = F_{тр} = \eta_{0} \sqrt{ \frac{T}{T_{0}}} \frac{v_{1}}{h} S= 2,5 \cdot 10^{-6} Н$.
На высоте $h = 20 см$ над горизонтальной трансмиссионной лентой, движущейся со скоростью $v_{1} = 70 м/с$, параллельно ей подвешена пластинка площадью $S = 4 см^{2}$. Какую силу надо приложить к этой пластинке, чтобы она оставалась неподвижной? Вязкость воздуха при нормальных условиях $\eta_{0} = 1,7 \cdot 10^{-5} кг/(м \cdot с)$. В условиях опыта температура $t = 27^{ \circ} С$, давление атмосферное (рис.).
Решение:
Благодаря явлению внутреннего трения на слой воздуха, примыкающий к пластинке (адсорбированный пластинкой), со стороны движущихся слоев действует сила трения. Пластинка будет неподвижна, если приложенная сила $\vec{F}$ и сила трения $\vec{F}_{тр}$ скомпенсированы:
$\vec{F} = - \vec{F}_{тр}, F = F_{тр}$.
Сила трения может быть найдена по уравнению Ньютона:
$F_{тр} = \eta |dv / dx | S$, (1)
где $dv/dx$ — производная скорости и направленного движения слоя по координате $x$, причем ось ОХ перпендикулярна плоскостям трансмиссии и пластинки и направлена от трансмиссии к пластинке.
По условию задачи, давление атмосферное, это значит, что длина свободного пробега молекул много меньше расстояния $h$, поэтому вязкость может быть рассчитана по формуле
$\eta = \frac{1}{3} \langle v \rangle \lambda \rho = \frac{1}{3} \sqrt{ \frac{8RT}{ \pi \mu}} \frac{1}{ \sqrt{2} \pi d^{2} n} \frac{ \mu n}{N_{A}}$.
Здесь $\langle v \rangle $ — средняя скорость теплового движения молекул; $\lambda$ — средняя длина свободного пробега; $\rho$ — плотность газа.
Как видно, вязкость зависит только от природы газа (эффективного диаметра $d$ молекул, молярной массы $\mu$) и температуры. Поэтому во всем пространстве между трансмиссией и пластинкой $\eta = const$ и значение $\eta$ при заданных условиях связано со значением $\eta_{0}$ при нормальных условиях соотношением
$\eta / \eta_{0} = \sqrt{T/T_{0}}$, (2)
где $T = 300 К; T_{0} = 273 К$.
Выражение (1) может быть применено к любому промежуточному слою площадью $S$, расположенному между трансмиссией и пластинкой. Из закона сохранения импульса следует, что сила трения, действующая на любой из этих промежуточных слоев, должна быть одинаковой, следовательно, $dv/dx = const$ и значение этой производной может быть определено из граничных условий.
Равенство (2) позволяет определить вязкость
$\eta = \eta_{0} \sqrt{T/T_{0}}$. (3)
Поскольку производная $dv/dx = const$, ее можно заменить отношением изменения скорости $\Delta v$ к приращению координаты $\Delta x$. По условию, $\Delta v = - v_{1}, \Delta x = h$. Тогда
$\frac{dv}{dx} = - \frac{v_{1}}{h}$. (4)
Как и следовало ожидать, производная $dv/dx < 0$. Подставляя выражения (3) и (4) в уравнение (1), получим
$F = F_{тр} = \eta_{0} \sqrt{ \frac{T}{T_{0}}} \frac{v_{1}}{h} S= 2,5 \cdot 10^{-6} Н$.
