Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 3514
2017-05-27 
Кислород нагревают от температуры $T_{1} = 240 К$ до $T_{2} = 480 К$. Рассчитать для каждой из указанных температур значения функции Максвелла при скоростях: а) $v = v_{в}$; б) $v = v_{в} + 200 м/с$; в) $v = v_{в} - 200 м/с$; г) $v = 2 v_{в}$. По полученным значениям построить графики функции $f(v, T)$ для каждой из температур. Определить, во сколько раз изменяется при увеличении температуры доля молекул, скорость которых находится в интервале: 1) от 100 до 200 м/с; 2) от 700 до 800 м/с.
Решение:
Независимо от характера процесса начальное и конечное состояния газа можно считать равновесными. Следовательно, в каждом из этих состояний молекулы распределены по скоростям согласно закону" Максвелла. Относительное число молекул $dN/N$, скорость которых лежит в интервале от $v$ до $v + dv$,
$dN/N = f(v,T) dv$.
Функция Максвелла имеет вид
$f(v, T) - \frac{4}{ \sqrt{ \pi}} \frac{v^{2}}{v_{в}^{8}} e^{- v^{2}/v_{в}^{2}}$. (1)
Как известно,
$v_{в} = \sqrt{2kT/m_{0}} = \sqrt{2RT/ \mu}$. (2)
Таким образом, первая часть сводится к непосредственному расчету значений функции Максвелла по формуле (1) при заданных скоростях и температурах и к построению графика по полученным точкам. Относительное число $\Delta N/N$ молекул, скорость которых лежит в диапазоне от $v_{1}$ до $v_{2} = v_{1} + \Delta v$, в общем случае может быть рассчитана по формуле
$\frac{ \Delta N}{N} = \int_{v_{1}}^{v_{2}} f(v,T) dv$. (3)
В случае, когда интервал $\Delta v$ настолько мал, что изменением функции Максвелла можно пренебречь, т. е. $f(v_{1}, T) \approx f(v_{2}, T)$, доля молекул может быть найдена по приближенной формуле (см. задачу 3513)
$\Delta N/N = f(v, T) \Delta v$. (4)
В условии интервал скоростей $\Delta v = 100 м/с$ настолько велик, что использование формулы (4) невозможно. Однако расчет $\Delta N/N$ по формуле (3) сложен и записанный интеграл в явном виде не берется, приходится пользоваться численными методами интегрирования. При невозможности использования ЭВМ решение задачи может быть проведено приближенно графическим методом: относительное число молекул, скорость которых лежит в диапазоне от $v_{1}$ до $v_{2}$, численно равно площади, ограниченной графиком функции Максвелла, осью абсцисс (осью скоростей) и ординатами $f(v_{1}, T), f(v_{2}, T)$. Таким образом, расчет может быть приближенно проведен после построения графиков $f(v, T)$.
Для облегчения вычислений найдем сначала по формуле (2) наиболее вероятные скорости для каждой из заданных температур: $v_{1B} = 350 м/с; v_{2B} = 500 м/с$. Используя выражение (1), определяем функции Максвелла:
а) $f(v, T_{1}) = 2,40 \cdot 10^{-3} с/м, f(v, T_{2}) = 1,70 \cdot 10^{-3} с/м$, если $v=v_{в}$;
б) $f(v, T_{1}) = 1,32 \cdot 10^{-3} с/м, f(v, T_{2}) = 1,20 \cdot 10^{-3} с/м$, если $v = v_{в} + 200 м/с$;
в) $f(v, T_{1}) = 0,96 \cdot 10^{-3} с/м, f(v, T_{2}) = 1,14 \cdot 10^{-3} с/м$, если $v = v_{в} - 200 м/с$;
г) $f(v, T_{1}) = 0,47 \cdot 10^{-3} с/м, f(v, T_{2}) = 0,33 \cdot 10^{-3} с/м$, если $v = 2v_{в}$;
Графики $f(v, T_{1})$ и $f(v, T_{2})$, построенные по полученным значениям с учетом того, что при $v = 0$ и $v \rightarrow \infty f(v,T) = 0$ изображены на рис.
Как видно из графиков, в заданных диапазонах скоростей функция Максвелла действительно изменяется довольно резко, что и не позволяет использовать приближенную формулу.
Рассчитаем отношение площадей, ограниченных графиком функции Максвелла и соответствующими ординатами (площади находятся по числу клеточек на рис. в соответствующих диапазонах). В диапазоне скоростей от 100 до 200 м/с
$\frac{ \Delta N_{1}}{N_{1}} : \frac{ \Delta N_{2}}{N_{2}} = 3$.
В диапазоне скоростей от 700 до 800, м/с
$\frac{ \Delta N_{1}}{N_{1}} : \frac{ \Delta N_{2}}{N_{2}} = \frac{1}{3}$.
При увеличении температуры от $T_{1} = 240 К$ до $T_{2} = 480 К$ доля молекул, скорость которых заключена в диапазоне от 100 до 200 м/с, уменьшилась примерно в три раза, доля молекул, скорость которых лежит в диапазоне от 700 до 800 м/с, увеличилась примерно в три раза.
Кислород нагревают от температуры $T_{1} = 240 К$ до $T_{2} = 480 К$. Рассчитать для каждой из указанных температур значения функции Максвелла при скоростях: а) $v = v_{в}$; б) $v = v_{в} + 200 м/с$; в) $v = v_{в} - 200 м/с$; г) $v = 2 v_{в}$. По полученным значениям построить графики функции $f(v, T)$ для каждой из температур. Определить, во сколько раз изменяется при увеличении температуры доля молекул, скорость которых находится в интервале: 1) от 100 до 200 м/с; 2) от 700 до 800 м/с.
Решение:
Независимо от характера процесса начальное и конечное состояния газа можно считать равновесными. Следовательно, в каждом из этих состояний молекулы распределены по скоростям согласно закону" Максвелла. Относительное число молекул $dN/N$, скорость которых лежит в интервале от $v$ до $v + dv$,
$dN/N = f(v,T) dv$.
Функция Максвелла имеет вид
$f(v, T) - \frac{4}{ \sqrt{ \pi}} \frac{v^{2}}{v_{в}^{8}} e^{- v^{2}/v_{в}^{2}}$. (1)
Как известно,
$v_{в} = \sqrt{2kT/m_{0}} = \sqrt{2RT/ \mu}$. (2)
Таким образом, первая часть сводится к непосредственному расчету значений функции Максвелла по формуле (1) при заданных скоростях и температурах и к построению графика по полученным точкам. Относительное число $\Delta N/N$ молекул, скорость которых лежит в диапазоне от $v_{1}$ до $v_{2} = v_{1} + \Delta v$, в общем случае может быть рассчитана по формуле
$\frac{ \Delta N}{N} = \int_{v_{1}}^{v_{2}} f(v,T) dv$. (3)
В случае, когда интервал $\Delta v$ настолько мал, что изменением функции Максвелла можно пренебречь, т. е. $f(v_{1}, T) \approx f(v_{2}, T)$, доля молекул может быть найдена по приближенной формуле (см. задачу 3513)
$\Delta N/N = f(v, T) \Delta v$. (4)
В условии интервал скоростей $\Delta v = 100 м/с$ настолько велик, что использование формулы (4) невозможно. Однако расчет $\Delta N/N$ по формуле (3) сложен и записанный интеграл в явном виде не берется, приходится пользоваться численными методами интегрирования. При невозможности использования ЭВМ решение задачи может быть проведено приближенно графическим методом: относительное число молекул, скорость которых лежит в диапазоне от $v_{1}$ до $v_{2}$, численно равно площади, ограниченной графиком функции Максвелла, осью абсцисс (осью скоростей) и ординатами $f(v_{1}, T), f(v_{2}, T)$. Таким образом, расчет может быть приближенно проведен после построения графиков $f(v, T)$.
Для облегчения вычислений найдем сначала по формуле (2) наиболее вероятные скорости для каждой из заданных температур: $v_{1B} = 350 м/с; v_{2B} = 500 м/с$. Используя выражение (1), определяем функции Максвелла:
а) $f(v, T_{1}) = 2,40 \cdot 10^{-3} с/м, f(v, T_{2}) = 1,70 \cdot 10^{-3} с/м$, если $v=v_{в}$;
б) $f(v, T_{1}) = 1,32 \cdot 10^{-3} с/м, f(v, T_{2}) = 1,20 \cdot 10^{-3} с/м$, если $v = v_{в} + 200 м/с$;
в) $f(v, T_{1}) = 0,96 \cdot 10^{-3} с/м, f(v, T_{2}) = 1,14 \cdot 10^{-3} с/м$, если $v = v_{в} - 200 м/с$;
г) $f(v, T_{1}) = 0,47 \cdot 10^{-3} с/м, f(v, T_{2}) = 0,33 \cdot 10^{-3} с/м$, если $v = 2v_{в}$;
Графики $f(v, T_{1})$ и $f(v, T_{2})$, построенные по полученным значениям с учетом того, что при $v = 0$ и $v \rightarrow \infty f(v,T) = 0$ изображены на рис.
Как видно из графиков, в заданных диапазонах скоростей функция Максвелла действительно изменяется довольно резко, что и не позволяет использовать приближенную формулу.
Рассчитаем отношение площадей, ограниченных графиком функции Максвелла и соответствующими ординатами (площади находятся по числу клеточек на рис. в соответствующих диапазонах). В диапазоне скоростей от 100 до 200 м/с
$\frac{ \Delta N_{1}}{N_{1}} : \frac{ \Delta N_{2}}{N_{2}} = 3$.
В диапазоне скоростей от 700 до 800, м/с
$\frac{ \Delta N_{1}}{N_{1}} : \frac{ \Delta N_{2}}{N_{2}} = \frac{1}{3}$.
При увеличении температуры от $T_{1} = 240 К$ до $T_{2} = 480 К$ доля молекул, скорость которых заключена в диапазоне от 100 до 200 м/с, уменьшилась примерно в три раза, доля молекул, скорость которых лежит в диапазоне от 700 до 800 м/с, увеличилась примерно в три раза.
