Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 3513
2017-05-27 
Температура оксида азота $NO T = 300 К$. Определить долю молекул, скорость которых лежит в интервале от $v_{1} = 820 м/с$ до $v_{2} = 830 м/с$.
Решение:
Рассматриваемый газ находится в равновесном состоянии, и, согласно Максвеллу, относительное число молекул, скорость которых заключена в интервале от $v$ до $v + dv$,
$\frac{dN}{N} = f(v, T) dv$,
где $f(v, T)$ — функция Максвелла; $dv$ — настолько малый диапазон скоростей, что в пределах его заведомо $f(v, T) = const$. В условии задачи требуется определить долю молекул, скорости которых лежат в диапазоне $\Delta v = v_{2} - v_{1} = 10 м/с$.
Если в этом пределе функцию Максвелла можно с достаточной степенью точности считать постоянной, то искомая величина может быть рассчитана по приближенной формуле
$\frac{ \Delta N}{N} = f(v_{1}, T) \Delta v$. (1)
Такое приближение соответствует тому, что на рис. заштрихованная площадь приравнивается площади прямоугольника с основанием $\Delta v$ и высотой, равной значению $f(v_{1},T)$.
Следовательно, прежде всего надо найти значения функции Максвелла при $v = v_{1}$ и $v = v_{2}$ и выяснить, какую погрешность дает использование равенства (1).
Функция Максвелла, как известно, имеет вид
$f(v, T) = \frac{4}{ \sqrt{ \pi}} \frac{v^{2}}{v_{в}^{3}} e^{-v^{2}/v_{в}^{2}}$, (2)
где
$v_{в} = \sqrt{2kT/ m_{0}} = \sqrt{2RT/ \mu}$. (3)
— наиболее вероятная скорость молекул.
Для облегчения расчета найдем сначала наиболее вероятную скорость по равенству (3):
$v_{в} = \sqrt{2RT/ \mu} = 410 м/с$.
Тогда [см. (2)]
$f(v_{1}, T) = 4,03 \cdot 10^{-4} с/м; f(v_{2}, T) = 3,75 \cdot 10^{-4} с/м$.
Это значит, что при использовании выражения (1) допускается ошибка, относительная величина которой
$\delta f = \frac{f(v_{1},T) - f(v_{2},T)}{f(v_{1},T)} = 0,07$ т.е. 7%.
Следовательно, с указанной степенью точности можно использовать равенство (1). Тогда доля молекул, скорость которых лежит в заданном интервале,
$\Delta N/N = f(v_{1}, T) \Delta v = 4,0 \cdot 10^{-3}$, т. е. 0,4%.
Температура оксида азота $NO T = 300 К$. Определить долю молекул, скорость которых лежит в интервале от $v_{1} = 820 м/с$ до $v_{2} = 830 м/с$.
Решение:
Рассматриваемый газ находится в равновесном состоянии, и, согласно Максвеллу, относительное число молекул, скорость которых заключена в интервале от $v$ до $v + dv$,
$\frac{dN}{N} = f(v, T) dv$,
где $f(v, T)$ — функция Максвелла; $dv$ — настолько малый диапазон скоростей, что в пределах его заведомо $f(v, T) = const$. В условии задачи требуется определить долю молекул, скорости которых лежат в диапазоне $\Delta v = v_{2} - v_{1} = 10 м/с$.
Если в этом пределе функцию Максвелла можно с достаточной степенью точности считать постоянной, то искомая величина может быть рассчитана по приближенной формуле
$\frac{ \Delta N}{N} = f(v_{1}, T) \Delta v$. (1)
Такое приближение соответствует тому, что на рис. заштрихованная площадь приравнивается площади прямоугольника с основанием $\Delta v$ и высотой, равной значению $f(v_{1},T)$.
Следовательно, прежде всего надо найти значения функции Максвелла при $v = v_{1}$ и $v = v_{2}$ и выяснить, какую погрешность дает использование равенства (1).
Функция Максвелла, как известно, имеет вид
$f(v, T) = \frac{4}{ \sqrt{ \pi}} \frac{v^{2}}{v_{в}^{3}} e^{-v^{2}/v_{в}^{2}}$, (2)
где
$v_{в} = \sqrt{2kT/ m_{0}} = \sqrt{2RT/ \mu}$. (3)
— наиболее вероятная скорость молекул.
Для облегчения расчета найдем сначала наиболее вероятную скорость по равенству (3):
$v_{в} = \sqrt{2RT/ \mu} = 410 м/с$.
Тогда [см. (2)]
$f(v_{1}, T) = 4,03 \cdot 10^{-4} с/м; f(v_{2}, T) = 3,75 \cdot 10^{-4} с/м$.
Это значит, что при использовании выражения (1) допускается ошибка, относительная величина которой
$\delta f = \frac{f(v_{1},T) - f(v_{2},T)}{f(v_{1},T)} = 0,07$ т.е. 7%.
Следовательно, с указанной степенью точности можно использовать равенство (1). Тогда доля молекул, скорость которых лежит в заданном интервале,
$\Delta N/N = f(v_{1}, T) \Delta v = 4,0 \cdot 10^{-3}$, т. е. 0,4%.
