Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 3511
2017-05-27 
Рассчитать среднюю длину свободного пробега молекул азота, коэффициент диффузии и вязкость при давлении $p = 10^{5} Па$ и температуре $t = 17^{ \circ} С$. Как изменятся найденные величины в результате двукратного увеличения объема газа: а) при постоянном давлении; б) при постоянной температуре? Эффективный диаметр молекул азота $d = 3,7 \cdot 10^{-8} см$.
Решение:
Средняя длина свободного пробега $\lambda$ и коэффициенты переноса могут быть рассчитаны по следующим формулам:
$\lambda = 1/( \pi \sqrt{2} d^{2} n)$, (1)
$D = \lambda \langle v \rangle /3$, (2)
$\eta = \lambda \langle v \rangle nm_{0}/3$. (3)
Здесь $n$ — концентрация молекул газа; $\langle v \rangle$ — средняя скорость молекул; $m_{0}$ — масса одной молекулы.
Концентрацию молекул по заданным значениям давления и температуры можно определить из уравнения Клапейрона — Менделеева:
$p = nkT$. (4)
Выражения (1)—(3) имеют смысл, если длина свободного пробега, рассчитанная по формуле (1), много меньше линейных размеров сосуда. Поскольку начальное давление газа — атмосферное, можно утверждать, что это условие выполняется, хотя размеры сосуда и не оговорены в условии задачи.
Выражая концентрацию из уравнения (4) и подставляя ее в (1), получим
$\lambda = kT/( \pi \sqrt{2} d^{2} p) = 6,5 \cdot 10^{-8} м$.
Для расчета коэффициента диффузии по формуле (2) можно воспользоваться полученным результатом» определив предварительно среднюю скорость $\langle v \rangle = \sqrt{8RT/( \pi \mu)} = 470 м/с$. Тогда $D = 1,0 \cdot 10^{-5} м^{2}/с$.
Для расчета $\eta$ подставим в выражение (3) формулу (1):
$\eta = \frac{1}{3} \frac{1}{ \pi \sqrt{2} d^{2}} m_{0} \langle v \rangle$,
где $m_{0} = \eta / N_{A}$. Окончательно
$\eta = \frac{1}{3} \frac{1}{ \pi \sqrt{2} d^{2}} \frac{ \mu \langle v \rangle }{N_{0}} = 1,2 \cdot 10^{-5} кг/(м \cdot с)$. (5)
Как видно из выражения (1), длина свободного пробега зависит только от концентрации молекул. При двукратном увеличении объема концентрация уменьшается вдвое. Следовательно, при любом процессе
$\lambda_{2} / \lambda_{1} = 2$.
Индексы 1 и 2 соответствуют состояниям до и после расширения газа.
В выражение коэффициента диффузии входит не только длина свободного пробега, но и средняя скорость. Следовательно,
$\frac{D_{2}}{D_{1}} = \frac{ \lambda_{2}}{ \lambda_{1}} \sqrt{ \frac{T_{2}}{T_{1}}}$.
При постоянном давлении объем прямо пропорционален термодинамической температуре: $\frac{T_{2}}{T_{1}} = \frac{V_{2}}{V_{1}} = 2$. Таким образом, $\frac{D_{2}}{D_{1}} = 2 \sqrt{2}$. При постоянной температуре
$\frac{D_{2}}{D_{1}} = \frac{ \lambda_{2}}{ \lambda_{1}}= 2$.
Вязкость, как видно из выражения (5), зависит только от скорости молекул, следовательно, и от температуры [все остальные величины, входящие в выражение (5), постоянны], т. е. $\frac{ \eta_{2}}{ \eta_{1}} = \sqrt{ \frac{T_{2}}{T_{1}} }$. Это значит, что при постоя-нном давлении
$\frac{ \eta_{2}}{ \eta_{1}} = \sqrt{2}$.
При постоянной температуре коэффициент $\eta$ не изменяется.
Рассчитать среднюю длину свободного пробега молекул азота, коэффициент диффузии и вязкость при давлении $p = 10^{5} Па$ и температуре $t = 17^{ \circ} С$. Как изменятся найденные величины в результате двукратного увеличения объема газа: а) при постоянном давлении; б) при постоянной температуре? Эффективный диаметр молекул азота $d = 3,7 \cdot 10^{-8} см$.
Решение:
Средняя длина свободного пробега $\lambda$ и коэффициенты переноса могут быть рассчитаны по следующим формулам:
$\lambda = 1/( \pi \sqrt{2} d^{2} n)$, (1)
$D = \lambda \langle v \rangle /3$, (2)
$\eta = \lambda \langle v \rangle nm_{0}/3$. (3)
Здесь $n$ — концентрация молекул газа; $\langle v \rangle$ — средняя скорость молекул; $m_{0}$ — масса одной молекулы.
Концентрацию молекул по заданным значениям давления и температуры можно определить из уравнения Клапейрона — Менделеева:
$p = nkT$. (4)
Выражения (1)—(3) имеют смысл, если длина свободного пробега, рассчитанная по формуле (1), много меньше линейных размеров сосуда. Поскольку начальное давление газа — атмосферное, можно утверждать, что это условие выполняется, хотя размеры сосуда и не оговорены в условии задачи.
Выражая концентрацию из уравнения (4) и подставляя ее в (1), получим
$\lambda = kT/( \pi \sqrt{2} d^{2} p) = 6,5 \cdot 10^{-8} м$.
Для расчета коэффициента диффузии по формуле (2) можно воспользоваться полученным результатом» определив предварительно среднюю скорость $\langle v \rangle = \sqrt{8RT/( \pi \mu)} = 470 м/с$. Тогда $D = 1,0 \cdot 10^{-5} м^{2}/с$.
Для расчета $\eta$ подставим в выражение (3) формулу (1):
$\eta = \frac{1}{3} \frac{1}{ \pi \sqrt{2} d^{2}} m_{0} \langle v \rangle$,
где $m_{0} = \eta / N_{A}$. Окончательно
$\eta = \frac{1}{3} \frac{1}{ \pi \sqrt{2} d^{2}} \frac{ \mu \langle v \rangle }{N_{0}} = 1,2 \cdot 10^{-5} кг/(м \cdot с)$. (5)
Как видно из выражения (1), длина свободного пробега зависит только от концентрации молекул. При двукратном увеличении объема концентрация уменьшается вдвое. Следовательно, при любом процессе
$\lambda_{2} / \lambda_{1} = 2$.
Индексы 1 и 2 соответствуют состояниям до и после расширения газа.
В выражение коэффициента диффузии входит не только длина свободного пробега, но и средняя скорость. Следовательно,
$\frac{D_{2}}{D_{1}} = \frac{ \lambda_{2}}{ \lambda_{1}} \sqrt{ \frac{T_{2}}{T_{1}}}$.
При постоянном давлении объем прямо пропорционален термодинамической температуре: $\frac{T_{2}}{T_{1}} = \frac{V_{2}}{V_{1}} = 2$. Таким образом, $\frac{D_{2}}{D_{1}} = 2 \sqrt{2}$. При постоянной температуре
$\frac{D_{2}}{D_{1}} = \frac{ \lambda_{2}}{ \lambda_{1}}= 2$.
Вязкость, как видно из выражения (5), зависит только от скорости молекул, следовательно, и от температуры [все остальные величины, входящие в выражение (5), постоянны], т. е. $\frac{ \eta_{2}}{ \eta_{1}} = \sqrt{ \frac{T_{2}}{T_{1}} }$. Это значит, что при постоя-нном давлении
$\frac{ \eta_{2}}{ \eta_{1}} = \sqrt{2}$.
При постоянной температуре коэффициент $\eta$ не изменяется.
