Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 3509
2017-05-27 
Сосуд, содержащий некоторую массу газа, движется со скоростью $u$. На сколько увеличится средний квадрат скорости теплового движения молекул при остановке сосуда для одноатомного и двухатомного газов? Теплоемкость, теплопроводность и масса стенок сосуда пренебрежимо малы.
Решение:
При движении сосуда все молекулы газа участвуют одновременно в хаотическом (тепловом) движении и направленном движении со скоростью $u$. При остановке сосуда молекулы по инерции некоторое время сохраняют свою направленную скорость, но затем в результате соударений друг с другом и со стенками сосуда газ придет в равновесное состояние, при котором молекулы его не обладают направленной скоростью. При этом установится максвелловское распределение молекул по скоростям с некоторым значением среднего квадрата скорости $\langle v^{2} \rangle_{2}$. Чтобы выяснить, насколько это значение больше того, что было до остановки сосуда ($ \langle v^{2} \rangle_{1}$), надо найти прирост средней кинетической энергии $\Delta \langle W_{0} \rangle$ хаотического движения одной молекулы в результате остановки.
При движении сосуда результирующая скорость $\vec{c}_{i}$, и кинетическая энергия поступательного движения любой молекулы соответственно равны:
$\vec{c}_{i} = \vec{v}_{i} + \vec{u}, \frac{m_{0} c_{i}^{2}}{2} = \frac{m_{0}v_{i}^{2}}{2} + \frac{m_{0}u^{2}}{2} + m_{0} \vec{v}_{i} \vec{u}$. (1)
Здесь $\vec{v}_{i}$ — скорость хаотического движения молекулы.
Для нахождения средней кинетической энергии поступательного движения молекулы выражение (1) надо просуммировать по всем молекулам и затем разделить на общее число $N$ молекул:
$\frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} \frac{m_{0} c_{i}^{2}}{2} = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} \frac{m_{0}v_{i}^{2}}{2} + \frac{m_{0}u^{2}}{2} + \frac{m_{0} \vec{u}}{N} \sum_{i=1}^{n} \vec{v}_{i}$. (2)
Вследствие хаотичности теплового движения, т. е. полной равноправности всех направлений вектора $\vec{v}_{i}, \sum \vec{v}_{i} = 0$ и последнее слагаемое в правой части (2) обращается в нуль. Первое слагаемое можно представить как $m_{0} \langle v^{2} \rangle_{1} /2$. Тогда поступательная кинетическая энергия молекулы во время движения сосуда
$ \langle W_{0п} \rangle_{1} = \frac{m_{0} \langle v \rangle_{1}}{2} + \frac{m_{0}u^{2}}{2}$.
Очевидно, и средняя полная кинетическая энергия молекулы во время движения сосуда может быть выражена аналогичной суммой:
$\langle W_{0} \rangle^{ \prime} = \langle W_{0} \rangle_{1} + m_{0} u^{2}/2$. (3)
Здесь первое слагаемое есть средняя полная энергия хаотического движения молекулы, равная $ikT_{1}/2$. После остановки сосуда
$\langle W_{0} \rangle^{ \prime \prime} = \langle W_{0} \rangle_{2} = (i/2)kT_{2}$. (4)
Если учесть сделанные в условии задачи оговорки, свидетельствующие о том, что сосуд не участвует в энергетическом балансе, то $\langle W_{0} \rangle^{ \prime} = \langle W_{0} \rangle^{ \prime \prime}$, т. е. при остановке сосуда кинетическая энергия направленного движения каждой молекулы полностью переходит в энергию хаотического движения. Сравнивая (3) и (4), получим
$\Delta \langle W_{0} \rangle = \langle W_{0} \rangle_{2} - \langle W_{0} \langle_{1} = m_{0} u^{2} /2$. (5)
Выражение (5) позволит найти искомое приращение среднего квадрата скорости теплового движения молекул.
Из выражения для средней энергии поступательного движения молекулы $m_{0} \langle v^{2} \rangle = \frac{3}{2} kT$ следует, что
$\langle v^{2} \rangle = 3kT/m_{0}$.
Средняя полная кинетическая энергия одной молекулы
$\langle W_{0} \rangle = ikT/2$.
Совместное решение двух последних уравнений дает
$\langle v^{2} \rangle = 6 \langle W_{0} \rangle / (im_{0})$.
Тогда изменение среднего квадрата скорости
$\Delta \langle v^{2} \rangle = \langle v^{2} \rangle_{2} - \langle v^{2} \langle_{1} = \Delta \langle W_{0} \rangle \frac{6}{im_{0}} $.
Учитывая выражение (5), находим
$\Delta \langle v^{2} \rangle = 3u^{2}/i$.
Для одноатомного газа $(i = 3) \Delta \langle v^{2} \rangle = u^{2}$. Для двухатомного газа $(i = 5) \Delta \langle v^{2} \rangle = 0,6u^{2}$.
Сосуд, содержащий некоторую массу газа, движется со скоростью $u$. На сколько увеличится средний квадрат скорости теплового движения молекул при остановке сосуда для одноатомного и двухатомного газов? Теплоемкость, теплопроводность и масса стенок сосуда пренебрежимо малы.
Решение:
При движении сосуда все молекулы газа участвуют одновременно в хаотическом (тепловом) движении и направленном движении со скоростью $u$. При остановке сосуда молекулы по инерции некоторое время сохраняют свою направленную скорость, но затем в результате соударений друг с другом и со стенками сосуда газ придет в равновесное состояние, при котором молекулы его не обладают направленной скоростью. При этом установится максвелловское распределение молекул по скоростям с некоторым значением среднего квадрата скорости $\langle v^{2} \rangle_{2}$. Чтобы выяснить, насколько это значение больше того, что было до остановки сосуда ($ \langle v^{2} \rangle_{1}$), надо найти прирост средней кинетической энергии $\Delta \langle W_{0} \rangle$ хаотического движения одной молекулы в результате остановки.
При движении сосуда результирующая скорость $\vec{c}_{i}$, и кинетическая энергия поступательного движения любой молекулы соответственно равны:
$\vec{c}_{i} = \vec{v}_{i} + \vec{u}, \frac{m_{0} c_{i}^{2}}{2} = \frac{m_{0}v_{i}^{2}}{2} + \frac{m_{0}u^{2}}{2} + m_{0} \vec{v}_{i} \vec{u}$. (1)
Здесь $\vec{v}_{i}$ — скорость хаотического движения молекулы.
Для нахождения средней кинетической энергии поступательного движения молекулы выражение (1) надо просуммировать по всем молекулам и затем разделить на общее число $N$ молекул:
$\frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} \frac{m_{0} c_{i}^{2}}{2} = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} \frac{m_{0}v_{i}^{2}}{2} + \frac{m_{0}u^{2}}{2} + \frac{m_{0} \vec{u}}{N} \sum_{i=1}^{n} \vec{v}_{i}$. (2)
Вследствие хаотичности теплового движения, т. е. полной равноправности всех направлений вектора $\vec{v}_{i}, \sum \vec{v}_{i} = 0$ и последнее слагаемое в правой части (2) обращается в нуль. Первое слагаемое можно представить как $m_{0} \langle v^{2} \rangle_{1} /2$. Тогда поступательная кинетическая энергия молекулы во время движения сосуда
$ \langle W_{0п} \rangle_{1} = \frac{m_{0} \langle v \rangle_{1}}{2} + \frac{m_{0}u^{2}}{2}$.
Очевидно, и средняя полная кинетическая энергия молекулы во время движения сосуда может быть выражена аналогичной суммой:
$\langle W_{0} \rangle^{ \prime} = \langle W_{0} \rangle_{1} + m_{0} u^{2}/2$. (3)
Здесь первое слагаемое есть средняя полная энергия хаотического движения молекулы, равная $ikT_{1}/2$. После остановки сосуда
$\langle W_{0} \rangle^{ \prime \prime} = \langle W_{0} \rangle_{2} = (i/2)kT_{2}$. (4)
Если учесть сделанные в условии задачи оговорки, свидетельствующие о том, что сосуд не участвует в энергетическом балансе, то $\langle W_{0} \rangle^{ \prime} = \langle W_{0} \rangle^{ \prime \prime}$, т. е. при остановке сосуда кинетическая энергия направленного движения каждой молекулы полностью переходит в энергию хаотического движения. Сравнивая (3) и (4), получим
$\Delta \langle W_{0} \rangle = \langle W_{0} \rangle_{2} - \langle W_{0} \langle_{1} = m_{0} u^{2} /2$. (5)
Выражение (5) позволит найти искомое приращение среднего квадрата скорости теплового движения молекул.
Из выражения для средней энергии поступательного движения молекулы $m_{0} \langle v^{2} \rangle = \frac{3}{2} kT$ следует, что
$\langle v^{2} \rangle = 3kT/m_{0}$.
Средняя полная кинетическая энергия одной молекулы
$\langle W_{0} \rangle = ikT/2$.
Совместное решение двух последних уравнений дает
$\langle v^{2} \rangle = 6 \langle W_{0} \rangle / (im_{0})$.
Тогда изменение среднего квадрата скорости
$\Delta \langle v^{2} \rangle = \langle v^{2} \rangle_{2} - \langle v^{2} \langle_{1} = \Delta \langle W_{0} \rangle \frac{6}{im_{0}} $.
Учитывая выражение (5), находим
$\Delta \langle v^{2} \rangle = 3u^{2}/i$.
Для одноатомного газа $(i = 3) \Delta \langle v^{2} \rangle = u^{2}$. Для двухатомного газа $(i = 5) \Delta \langle v^{2} \rangle = 0,6u^{2}$.
