Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 3508
2017-05-27 
Найти среднюю квадратичную скорость, среднюю кинетическую энергию поступательного движения и среднюю полную кинетическую энергию молекул гелия и азота при температуре $t = 27^{ \circ} С$. Определить полную энергию всех молекул 100 г каждого из газов.
Решение:
Средняя кинетическая энергия поступательного движения одной молекулы любого газа однозначно определяется его термодинамической температурой:
$\langle W_{0п} \rangle = \frac{3}{2} kT$, (1)
где $k = 1,38 \cdot 10^{-23} Дж/К$ — постоянная Больцмана.
Однако средняя квадратичная скорость молекул газа зависит от массы его молекул:
$v_{кв} = \sqrt{3kT/m_{0}}$, (2)
где $m_{0}$ — масса одной молекулы.
Средняя-полная энергия молекулы зависит не только от температуры, но и от структуры молекул — от числа £ степеней свободы:
$\langle W_{0} \rangle = ikT/2$. (3)
Полная кинетическая энергия всех молекул, равная для идеального газа его внутренней энергии, может быть найдена как произведение $\langle W_{0} \rangle$ на число $N$ всех молекул:
$W = U = \langle W_{0} \rangle N$. (4)
Очевидно,
$N = N_{A} m / \mu$, (5)
где $m$ — масса всего газа, отношение т/ц определяет число молей, а $N_{A}$ — постоянная Авогадро. Выражение (4) с учетом уравнения Клапейрона — Менделеева позволит рассчитать полную энергию всех молекул газа.
Согласно равенству (1), $\langle W_{0п} \rangle = 6,2 \cdot 10^{-21} Дж$, причем средние энергии поступательного движения одной молекулы и гелия, и азота одинаковы.
Для расчета средней квадратичной скорости выражение (2) удобно несколько преобразовать, умножив числитель и знаменатель на $N_{A}$.
Тогда
$v_{кв} = \sqrt{3RT/ \mu}$,
где $R = 8,31 Дж/(моль \cdot К)$. Для гелия $v_{кв} = 13,7 \cdot 10^{2} м/с$, для азота $v_{кв} = 5,17 \cdot 10^{2} м/с$.
Для расчета средней полной энергии молекулы [см. (3)] надо знать число степеней свободы молекулы.
Гелий — одноатомный газ, следовательно, $i = 3$, тогда
$\langle W_{0п} \rangle = \langle W_{0} \rangle = 6,2 \cdot 10^{-21} Дж$.
Азот — двухатомный газ, следовательно, $i = 5$ и
$\langle W_{0} \rangle = \frac{5}{2} kT = 10,4 \cdot 10^{-21} Дж$.
Полная энергия всех молекул после подстановки выражений (3) и (5) в (4) равна
$W = \frac{i}{2} kT \frac{m}{ \mu} N_{0} = \frac{i}{2} \frac{m}{ \mu} RT$.
Для гелия $W = 93,5 кДж$; для азота $W = 22,3 кДж$.
Найти среднюю квадратичную скорость, среднюю кинетическую энергию поступательного движения и среднюю полную кинетическую энергию молекул гелия и азота при температуре $t = 27^{ \circ} С$. Определить полную энергию всех молекул 100 г каждого из газов.
Решение:
Средняя кинетическая энергия поступательного движения одной молекулы любого газа однозначно определяется его термодинамической температурой:
$\langle W_{0п} \rangle = \frac{3}{2} kT$, (1)
где $k = 1,38 \cdot 10^{-23} Дж/К$ — постоянная Больцмана.
Однако средняя квадратичная скорость молекул газа зависит от массы его молекул:
$v_{кв} = \sqrt{3kT/m_{0}}$, (2)
где $m_{0}$ — масса одной молекулы.
Средняя-полная энергия молекулы зависит не только от температуры, но и от структуры молекул — от числа £ степеней свободы:
$\langle W_{0} \rangle = ikT/2$. (3)
Полная кинетическая энергия всех молекул, равная для идеального газа его внутренней энергии, может быть найдена как произведение $\langle W_{0} \rangle$ на число $N$ всех молекул:
$W = U = \langle W_{0} \rangle N$. (4)
Очевидно,
$N = N_{A} m / \mu$, (5)
где $m$ — масса всего газа, отношение т/ц определяет число молей, а $N_{A}$ — постоянная Авогадро. Выражение (4) с учетом уравнения Клапейрона — Менделеева позволит рассчитать полную энергию всех молекул газа.
Согласно равенству (1), $\langle W_{0п} \rangle = 6,2 \cdot 10^{-21} Дж$, причем средние энергии поступательного движения одной молекулы и гелия, и азота одинаковы.
Для расчета средней квадратичной скорости выражение (2) удобно несколько преобразовать, умножив числитель и знаменатель на $N_{A}$.
Тогда
$v_{кв} = \sqrt{3RT/ \mu}$,
где $R = 8,31 Дж/(моль \cdot К)$. Для гелия $v_{кв} = 13,7 \cdot 10^{2} м/с$, для азота $v_{кв} = 5,17 \cdot 10^{2} м/с$.
Для расчета средней полной энергии молекулы [см. (3)] надо знать число степеней свободы молекулы.
Гелий — одноатомный газ, следовательно, $i = 3$, тогда
$\langle W_{0п} \rangle = \langle W_{0} \rangle = 6,2 \cdot 10^{-21} Дж$.
Азот — двухатомный газ, следовательно, $i = 5$ и
$\langle W_{0} \rangle = \frac{5}{2} kT = 10,4 \cdot 10^{-21} Дж$.
Полная энергия всех молекул после подстановки выражений (3) и (5) в (4) равна
$W = \frac{i}{2} kT \frac{m}{ \mu} N_{0} = \frac{i}{2} \frac{m}{ \mu} RT$.
Для гелия $W = 93,5 кДж$; для азота $W = 22,3 кДж$.
