Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 3506
2017-05-27 
На центробежной машине укреплен гладкий горизонтальный стержень длины $2l_{0} = 1 м$, ось вращения вертикальна и проходит через середину стержня (рис.). На стержень надеты две небольшие муфты массы $m = 400 г$ каждая. Муфты связаны нитью длины $2l_{1} = 20 см$ и расположены симметрично относительно оси вращения. С какой радиальной скоростью подойдут муфты к концу стержня, если пережечь нить? Рассмотреть два случая: 1) машина вращается с постоянной угловой скоростью $\omega_{1} = 2 рад/с$; 2) до пережигания нити двигатель отключается и система предоставляется сама себе. Момент инерции вращающейся станины и стержня $J_{0} = 0,02 кг \cdot м^{2}$.
Решение:
По условию требуется определить скорость муфт относительно вращающегося стержня. Поэтому кажется естественным вести решение в неинерциальной системе отсчета, жестко связанной со стержнем.
В первом случае в этой неинерциальной системе на каждую муфту помимо сил тяжести и нормальной реакции стержня действуют центробежная сила инерции $\vec{F}_{цб}$ и сила Кориолиса $\vec{F}_{к}$. Центробежная сила инерции
$\vec{F}_{цб} = m \omega_{1}^{2} \vec{r}$, (1)
где $\vec{r}$ — радиус-вектор муфты (муфта рассматривается как материальная точка), проведенный от оси вращения вдоль стержня. Эта сила сообщает муфте относительную радиальную скорость $\vec{v}^{ \prime}$. Вращающий момент этой силы равен нулю. Сила Кориолиса
$\vec{F}_{к} = 2m \vec{v}^{ \prime} \times \omega $.
Эта сила, направленная перпендикулярно вектору $\vec{v}^{ \prime}$, изменяет силу нормальной реакции стержня, но вследствие отсутствия трения никак не влияет на характер относительного движения муфты. Легко видеть, что сила Кориолиса изменяет только режим работы двигателя: чем дальше отойдут муфты от оси вращения, тем больше тормозящий момент сил Кориолиса и тем большую мощность должен развивать двигатель, чтобы поддерживать постоянной угловую скорость вращения. Таким образом, движение муфты вдоль стержня происходит под действием только центробежной силы инерции, следовательно, скорость $\vec{v}^{ \prime}$ этого движения может быть найдена либо с помощью второго закона Ньютона, либо из соотношения между изменением кинетической энергии и работой, которую совершает при радиальном движении каждой муфты центробежная сила инерции. Тогда
$\Delta K = m ( v^{ \prime})^{2}/2 = A_{цб}$. (2)
Во втором случае, когда двигатель отключен, сила Кориолиса создает вращающий момент, тормозящий движение всей системы. Угловая скорость при этом изменяется и появляется еще одна сила инерции $\vec{F} = m \vec{r} \times \frac{d \vec{ \omega}}{dt}$, которая также влияет на угловую скорость вращения системы. Решение задачи в неинерциальной системе получится крайне громоздким.
Для наблюдателя, стоящего на Земле, т. е. в инерциаль-йой системе отсчета, связанной с Землей, на рассматриваемую систему действуют внешние силы — тяжести, нормальной реакции, — не создающие вращающего момента относительно вертикальной оси и не совершающие работы. Следовательно, момент импульса и кинетическая энергия системы должны оставаться постоянными. (Очевидно, последнее утверждение справедливо при отсутствии трения в оси машины.) Тогда угловая скорость $\omega_{2}$ (к тому моменту, когда муфты подойдут к концам стержня) может быть найдена из закона сохранения момента импульса системы:
$\vec{L}_{I} = \vec{L}_{II}, J_{1} vec{ \omega}_{1} = J_{2} \vec{ \omega}_{2}$,
где $J_{1}$ и $J_{2}$ — моменты инерции всей системы соответственно в начале и в конце радиального движения муфт.
Относительную скорость $v^{ \prime}$ каждой-из муфт можно найти из закона сохранения энергии системы:
$K_{I} = K_{II}; \frac{J_{1} \omega_{1}^{2}}{2} = \frac{J_{2} \omega_{2}^{2}}{2} + 2 \frac{m(v^{ \prime})^{2}}{2}$. (4)
Следует обратить внимание на то, что кинетическая энергия системы $K_{II}$ может быть записана как сумма кинетических энергий вращательного движения и поступательного движения муфт только потому, что ось вращения проходит через центр масс всей системы.
1. $\omega = const = \omega_{1}$.
Рассчитаем работу, совершенную силой инерции, действующей на каждую из муфт, с учетом выражения (1):
$A_{цб} = \int_{l_{1}}^{l_{0}} m \omega_{1}^{2} r dr = \frac{m \omega_{1}^{2}}{2} (l_{0}^{2} - l_{1}^{2})$. (5)
Эта работа положительна. Подставляя выражение (5) в (2), получим
$v^{ \prime} = \omega_{1} \sqrt{ l_{0}^{2} - l_{1}^{2}} = 0,98 м/с$.
Если искать решение исходя из второго закона Ньютона, то уравнение движения муфты вдоль оси X, направленной по стержню от оси вращения, имеет вид
$m \frac{dv^{ \prime}}{dt} = m \omega^{2} x$,
где $x$ — мгновенное расстояние от оси вращения до муфты. Чтобы исключить переменную $t$, запишем
$\frac{dv^{ \prime}}{dt} = \frac{dv^{ \prime}}{dx} \frac{dx}{dt} = v^{ \prime} \frac{dv^{ \prime}}{dx}$,
и тогда решение задачи сведется к решению дифференциального уравнения
$mv^{ \prime} dv^{ \prime} = m \omega_{1}^{2} xdx$
с учетом начальных условий.
2. Перепишем уравнение (3) в скалярном виде
$\omega_{2} = J_{1} \omega_{1}/J_{2}$.
Подставив это выражение в (4), после несложных преобразований получаем
$(v^{ \prime})^{2} = \frac{ \omega_{1}^{2}}{2m} \frac{J_{1}}{J_{2}} (J_{2} - J_{1})$. (6)
В начальный момент
$J_{1} = J_{0} + 2ml_{1}^{2}$. (7)
К тому времени, когда муфты подойдут к концам стержня, момент инерции системы возрастет:
$J_{2} = J_{0} + 2 ml_{0}^{2}$. (8)
Подставляя выражения (7) и (8) в (6), находим
$v^{ \prime} = \omega_{1} \sqrt{ \frac{J_{0} + 2ml_{1}^{2}}{J_{0} + 2ml_{0}^{2}} (l_{0}^{2} - l_{1}^{2})} = 0,35 м/с$.
На центробежной машине укреплен гладкий горизонтальный стержень длины $2l_{0} = 1 м$, ось вращения вертикальна и проходит через середину стержня (рис.). На стержень надеты две небольшие муфты массы $m = 400 г$ каждая. Муфты связаны нитью длины $2l_{1} = 20 см$ и расположены симметрично относительно оси вращения. С какой радиальной скоростью подойдут муфты к концу стержня, если пережечь нить? Рассмотреть два случая: 1) машина вращается с постоянной угловой скоростью $\omega_{1} = 2 рад/с$; 2) до пережигания нити двигатель отключается и система предоставляется сама себе. Момент инерции вращающейся станины и стержня $J_{0} = 0,02 кг \cdot м^{2}$.
Решение:
По условию требуется определить скорость муфт относительно вращающегося стержня. Поэтому кажется естественным вести решение в неинерциальной системе отсчета, жестко связанной со стержнем.
В первом случае в этой неинерциальной системе на каждую муфту помимо сил тяжести и нормальной реакции стержня действуют центробежная сила инерции $\vec{F}_{цб}$ и сила Кориолиса $\vec{F}_{к}$. Центробежная сила инерции
$\vec{F}_{цб} = m \omega_{1}^{2} \vec{r}$, (1)
где $\vec{r}$ — радиус-вектор муфты (муфта рассматривается как материальная точка), проведенный от оси вращения вдоль стержня. Эта сила сообщает муфте относительную радиальную скорость $\vec{v}^{ \prime}$. Вращающий момент этой силы равен нулю. Сила Кориолиса
$\vec{F}_{к} = 2m \vec{v}^{ \prime} \times \omega $.
Эта сила, направленная перпендикулярно вектору $\vec{v}^{ \prime}$, изменяет силу нормальной реакции стержня, но вследствие отсутствия трения никак не влияет на характер относительного движения муфты. Легко видеть, что сила Кориолиса изменяет только режим работы двигателя: чем дальше отойдут муфты от оси вращения, тем больше тормозящий момент сил Кориолиса и тем большую мощность должен развивать двигатель, чтобы поддерживать постоянной угловую скорость вращения. Таким образом, движение муфты вдоль стержня происходит под действием только центробежной силы инерции, следовательно, скорость $\vec{v}^{ \prime}$ этого движения может быть найдена либо с помощью второго закона Ньютона, либо из соотношения между изменением кинетической энергии и работой, которую совершает при радиальном движении каждой муфты центробежная сила инерции. Тогда
$\Delta K = m ( v^{ \prime})^{2}/2 = A_{цб}$. (2)
Во втором случае, когда двигатель отключен, сила Кориолиса создает вращающий момент, тормозящий движение всей системы. Угловая скорость при этом изменяется и появляется еще одна сила инерции $\vec{F} = m \vec{r} \times \frac{d \vec{ \omega}}{dt}$, которая также влияет на угловую скорость вращения системы. Решение задачи в неинерциальной системе получится крайне громоздким.
Для наблюдателя, стоящего на Земле, т. е. в инерциаль-йой системе отсчета, связанной с Землей, на рассматриваемую систему действуют внешние силы — тяжести, нормальной реакции, — не создающие вращающего момента относительно вертикальной оси и не совершающие работы. Следовательно, момент импульса и кинетическая энергия системы должны оставаться постоянными. (Очевидно, последнее утверждение справедливо при отсутствии трения в оси машины.) Тогда угловая скорость $\omega_{2}$ (к тому моменту, когда муфты подойдут к концам стержня) может быть найдена из закона сохранения момента импульса системы:
$\vec{L}_{I} = \vec{L}_{II}, J_{1} vec{ \omega}_{1} = J_{2} \vec{ \omega}_{2}$,
где $J_{1}$ и $J_{2}$ — моменты инерции всей системы соответственно в начале и в конце радиального движения муфт.
Относительную скорость $v^{ \prime}$ каждой-из муфт можно найти из закона сохранения энергии системы:
$K_{I} = K_{II}; \frac{J_{1} \omega_{1}^{2}}{2} = \frac{J_{2} \omega_{2}^{2}}{2} + 2 \frac{m(v^{ \prime})^{2}}{2}$. (4)
Следует обратить внимание на то, что кинетическая энергия системы $K_{II}$ может быть записана как сумма кинетических энергий вращательного движения и поступательного движения муфт только потому, что ось вращения проходит через центр масс всей системы.
1. $\omega = const = \omega_{1}$.
Рассчитаем работу, совершенную силой инерции, действующей на каждую из муфт, с учетом выражения (1):
$A_{цб} = \int_{l_{1}}^{l_{0}} m \omega_{1}^{2} r dr = \frac{m \omega_{1}^{2}}{2} (l_{0}^{2} - l_{1}^{2})$. (5)
Эта работа положительна. Подставляя выражение (5) в (2), получим
$v^{ \prime} = \omega_{1} \sqrt{ l_{0}^{2} - l_{1}^{2}} = 0,98 м/с$.
Если искать решение исходя из второго закона Ньютона, то уравнение движения муфты вдоль оси X, направленной по стержню от оси вращения, имеет вид
$m \frac{dv^{ \prime}}{dt} = m \omega^{2} x$,
где $x$ — мгновенное расстояние от оси вращения до муфты. Чтобы исключить переменную $t$, запишем
$\frac{dv^{ \prime}}{dt} = \frac{dv^{ \prime}}{dx} \frac{dx}{dt} = v^{ \prime} \frac{dv^{ \prime}}{dx}$,
и тогда решение задачи сведется к решению дифференциального уравнения
$mv^{ \prime} dv^{ \prime} = m \omega_{1}^{2} xdx$
с учетом начальных условий.
2. Перепишем уравнение (3) в скалярном виде
$\omega_{2} = J_{1} \omega_{1}/J_{2}$.
Подставив это выражение в (4), после несложных преобразований получаем
$(v^{ \prime})^{2} = \frac{ \omega_{1}^{2}}{2m} \frac{J_{1}}{J_{2}} (J_{2} - J_{1})$. (6)
В начальный момент
$J_{1} = J_{0} + 2ml_{1}^{2}$. (7)
К тому времени, когда муфты подойдут к концам стержня, момент инерции системы возрастет:
$J_{2} = J_{0} + 2 ml_{0}^{2}$. (8)
Подставляя выражения (7) и (8) в (6), находим
$v^{ \prime} = \omega_{1} \sqrt{ \frac{J_{0} + 2ml_{1}^{2}}{J_{0} + 2ml_{0}^{2}} (l_{0}^{2} - l_{1}^{2})} = 0,35 м/с$.
