Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 3488
2017-05-21 
Через блок, укрепленный на горизонтальной оси, проходящей через его центр, перекинута нить, к концам которой прикреплены грузы $m_{1} = 300 г$ и $m_{2} = 200 г$ (рис.). Масса блока $m_{0} = 300 г$. Блок считать однородным диском. Найти ускорение грузов.
Решение:
Заданная система состоит из трех тел — грузов $m_{1}$ и $m_{2}$ и блока $m_{0}$. Груз $m_{1}$ находится под действием двух сил: силы тяжести $m \vec{g}$ и силы натяжения $\vec{T}$, нити. Второй закон Ньютона для этого груза
$m_{1} \vec{a}_{1} = m_{1} \vec{g} + \vec{T}_{1}$. (1)
Аналогично, рассматривая силы, действующие на груз $m_{2}$, получим
$m_{2} \vec{a}_{2} = m_{2} \vec{g} + \vec{T}_{2}$. (2)
Так как масса блока соизмерима с массой грузов, то мы не имеем права предполагать, что силы, с которыми нить действует на грузы $m_{1}$ и $m_{2}$, равны между собой. Соотношение между силами $\vec{T}_{1}$ и $\vec{T}_{2}$ может быть получено только после рассмотрения движения блока.
Блок вращается вокруг неподвижной горизонтальной оси, проходящей через его центр, следовательно, моменты сил тяжести блока и реакции оси равны нулю. Если предположить, что нить не скользит относительно блока, то вращение блока вызывается действием только сил натяжения нити. (Правильнее было бы сказать, что вращение блока вызывается силами трения покоя между нитью и ободом блока, причем в каждой точке соприкосновения сила трения покоя равна соответствующей силе натяжения нити.)
Тогда основное уравнение динамики вращательного движения для блока имеет вид
$J \vec{ \epsilon} = \vec{M}_{1} + \vec{M}_{2}$, (3)
где $\vec{M}_{1}$ и $\vec{M}_{2}$ — моменты сил натяжения $\vec{T}_{1}^{ \prime}$ и $\vec{T}_{2}^{ \prime}$.
Благодаря невесомости нити силы натяжения вдоль нити с каждой из сторон блока одинаковы по модулю, т. е. $T_{1} = T_{1}^{ \prime}, T_{2} = T_{2}^{ \prime}$.
Ускорения обоих грузов считаем равными по модулю на основании нерастяжимости нити. Если нить не проскальзывает относительно блока, то касательное ускорение его точек, соприкасающихся с нитью, равно ускорению нити в любой ее точке, а следовательно, и ускорению грузов:
$a_{1} = a_{2} = a, a = \epsilon r$. (4)
Чтобы перейти к скалярным соотношениям для описания движения грузов, введем ось Y. Тогда $a_{1y} = a, a_{2y} = - a$ и векторные уравнения (1) и (2) можно заменить скалярными:
$m_{}a = m_{1}g - T_{1}, -m_{2}a = m_{2}g - T_{2}$. (5)
Моменты сил $\vec{T}_{1}^{ \prime}$ и $\vec{T}_{2}^{ \prime}$ направлены по оси вращения, но в противоположные стороны. Примем направление вектора $\vec{ \omega}$ за положительное. Тогда векторное уравнение (3) можно переписать в виде
$J \epsilon = T_{1}r - T_{2}r$,
где $r$ — радиус блока.
Очевидно, $T_{1} = T_{2}$, если масса блока, а следовательно, и его момент инерции пренебрежимо малы (см. задачу 3474). Выражая $\epsilon$ из соотношения (4) и учитывая, что момент инерции однородного диска $J = m_{0}r^{2}/2 $, получаем
$m_{0}r^{2}a/(2r) = T_{1}r - T_{2}r$. (6)
Уравнения (5) и (6) образуют систему. Сокращая в уравнении (6) радиус блока $r$ и складывая все три уравнения [предварительно второе из уравнений (5) надо умножить на - 1], получаем
$a = g \frac{m_{1} - m_{2}}{m_{1} + m_{2} + m_{0}/2} = 1,5 м/с^{2}$.
Через блок, укрепленный на горизонтальной оси, проходящей через его центр, перекинута нить, к концам которой прикреплены грузы $m_{1} = 300 г$ и $m_{2} = 200 г$ (рис.). Масса блока $m_{0} = 300 г$. Блок считать однородным диском. Найти ускорение грузов.
Решение:
Заданная система состоит из трех тел — грузов $m_{1}$ и $m_{2}$ и блока $m_{0}$. Груз $m_{1}$ находится под действием двух сил: силы тяжести $m \vec{g}$ и силы натяжения $\vec{T}$, нити. Второй закон Ньютона для этого груза
$m_{1} \vec{a}_{1} = m_{1} \vec{g} + \vec{T}_{1}$. (1)
Аналогично, рассматривая силы, действующие на груз $m_{2}$, получим
$m_{2} \vec{a}_{2} = m_{2} \vec{g} + \vec{T}_{2}$. (2)
Так как масса блока соизмерима с массой грузов, то мы не имеем права предполагать, что силы, с которыми нить действует на грузы $m_{1}$ и $m_{2}$, равны между собой. Соотношение между силами $\vec{T}_{1}$ и $\vec{T}_{2}$ может быть получено только после рассмотрения движения блока.
Блок вращается вокруг неподвижной горизонтальной оси, проходящей через его центр, следовательно, моменты сил тяжести блока и реакции оси равны нулю. Если предположить, что нить не скользит относительно блока, то вращение блока вызывается действием только сил натяжения нити. (Правильнее было бы сказать, что вращение блока вызывается силами трения покоя между нитью и ободом блока, причем в каждой точке соприкосновения сила трения покоя равна соответствующей силе натяжения нити.)
Тогда основное уравнение динамики вращательного движения для блока имеет вид
$J \vec{ \epsilon} = \vec{M}_{1} + \vec{M}_{2}$, (3)
где $\vec{M}_{1}$ и $\vec{M}_{2}$ — моменты сил натяжения $\vec{T}_{1}^{ \prime}$ и $\vec{T}_{2}^{ \prime}$.
Благодаря невесомости нити силы натяжения вдоль нити с каждой из сторон блока одинаковы по модулю, т. е. $T_{1} = T_{1}^{ \prime}, T_{2} = T_{2}^{ \prime}$.
Ускорения обоих грузов считаем равными по модулю на основании нерастяжимости нити. Если нить не проскальзывает относительно блока, то касательное ускорение его точек, соприкасающихся с нитью, равно ускорению нити в любой ее точке, а следовательно, и ускорению грузов:
$a_{1} = a_{2} = a, a = \epsilon r$. (4)
Чтобы перейти к скалярным соотношениям для описания движения грузов, введем ось Y. Тогда $a_{1y} = a, a_{2y} = - a$ и векторные уравнения (1) и (2) можно заменить скалярными:
$m_{}a = m_{1}g - T_{1}, -m_{2}a = m_{2}g - T_{2}$. (5)
Моменты сил $\vec{T}_{1}^{ \prime}$ и $\vec{T}_{2}^{ \prime}$ направлены по оси вращения, но в противоположные стороны. Примем направление вектора $\vec{ \omega}$ за положительное. Тогда векторное уравнение (3) можно переписать в виде
$J \epsilon = T_{1}r - T_{2}r$,
где $r$ — радиус блока.
Очевидно, $T_{1} = T_{2}$, если масса блока, а следовательно, и его момент инерции пренебрежимо малы (см. задачу 3474). Выражая $\epsilon$ из соотношения (4) и учитывая, что момент инерции однородного диска $J = m_{0}r^{2}/2 $, получаем
$m_{0}r^{2}a/(2r) = T_{1}r - T_{2}r$. (6)
Уравнения (5) и (6) образуют систему. Сокращая в уравнении (6) радиус блока $r$ и складывая все три уравнения [предварительно второе из уравнений (5) надо умножить на - 1], получаем
$a = g \frac{m_{1} - m_{2}}{m_{1} + m_{2} + m_{0}/2} = 1,5 м/с^{2}$.
