Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 3486
2017-05-21 
По теории Резерфорда—Бора, электрон в атоме может двигаться по плоским эллиптическим орбитам. Какова полная энергия электрона в атоме водорода, если большая полуось эллипса $a = 2,1 \cdot 10^{-8} см$, а ядро находится в одном из фокусов эллипса (рис.)? Сила притяжения электрона к ядру $F = B/r^{2}$, где $r$ — расстояние от ядра до точки, в которой находится электрон; $B = 2,3 \cdot 10^{-28} Н \cdot м^{2}$.
Решение:
Во время движения электрона при любом, его положении на него действует только сила притяжения со стороны ядра. Сила эта, во-первых, зависит только от расстояния $r$, т. е. от координаты точки, в которой находится электрон, во-вторых, направлена к ядру. Следовательно, можно говорить, что электрон движется в силовом поле, консервативном и центральном, центр которого совпадает с положением ядра. При движении в таком поле электрон обладает потенциальной энергией и полная его энергия и момент импульса остаются постоянными. Чтобы найти полную энергию электрона, попробуем записать в явном виде законы сохранения энергии и момента импульса для двух произвольных фиксированных положений электрона на орбите. Это позволит получить два уравнения, содержащих в качестве неизвестных значения скоростей в выбранных точках, а в результате совместного решения этих уравнений найти скорость, а следовательно, и кинетическую энергию электрона в любой из фиксированных точек. Зная кинетическую энергию электрона, можно определить и его полную энергию. Последняя, очевидно, не должна зависеть от координат выбранных точек, но может зависеть от параметров эллипса, по которому движется электрон. Предварительно следует выразить потенциальную энергию электрона в данном силовом поле как функцию координат.
Изменение потенциальной энергии, как всегда, определяется работой сил поля, взятой с обратным знаком:
$dU = - dA_{с.п} = - F_{r} dr$,
где $F_{r}$ — проекция силы на направление радиус-вектора $\vec{r}$.
Если выбрать начало отсчета потенциальной энергии в некоторой точке $L[U(r_{L}) = 0]$, то при переходе из произвольной точки в точку $L$ изменение потенциальной энергии
$U(r_{L}) - U(r) = - \int_{r}^{r_{L}} F_{r} dr$,
откуда потенциальная энергия электрона в любой точке поля
$U(r) = \int_{r}^{r_{L}} F_{r} dr$. (1)
Прежде всего найдем выражение потенциальной энергии электрона в любой точке поля, выбрав в качестве начала отсчета бесконечность $[U( \infty ) = 0]$.
Сила, действующая на электрон, является силой притяжения (направлена к центру поля), следовательно, $F_{r} < 0$. Поскольку в выражении $F = B/r^{2}$ и числитель, и знаменатель положительны, $F_{r} = - B/r^{2}$.
Подставив это выражение в равенство (1), с учетом выбора начала отсчета потенциальной энергии получим
$U(r) = - B \int_{r}^{ \infty} \frac{dr}{r^{2}} = - \frac{B}{r}$.
Тогда полная энергия электрона в любой точке поля
$E = \frac{mv^{2}}{2} - \frac{B}{r}$.
Рассмотрим теперь электрон в точках D и N. Точка D равноудалена от обоих фокусов эллипса, и, следовательно, радиус-вектор $r_{D} = a$ (сумма расстояний от обоих фокусов до любой точки эллипса постоянна и равна $2a$). Полная энергия электрона в точке D
$E_{D} = mv_{D}^{2}/2 - B/a$.
Момент импульса электрона в той же точке $\vec{L}_{D} = \vec{r}_{D} \times m \vec{v}_{D}$. Угол между радиус-вектором $\vec{r}_{D}$ и вектором скорости $\vec{v}_{D}$, как видно из рис. $\alpha = arcsin ( \sqrt{a^{2} - c^{2}} /a)$, где с — расстояние от центра эллипса до любого из фокусов. Таким образом,
$L_{D} = mv_{D} \sqrt{a^{2} - c^{2}}$.
В точке N модуль радиус-вектора $r_{N} = a - c$. Полная энергия
$E_{N} = mv_{N}^{2}/2 - B/(a - c)$.
Поскольку $r_{N} = a - c$ равно минимальному значению радиус-вектора, проекция вектора скорости на радиальное направление в этой точке равна нулю и $\hat{ \vec{v}_{N}, \vec{r}_{N}} = \pi/2$. Поэтому
$L_{N} = mv_{N} (a - c)$.
Согласно закону сохранения энергии,
$mv_{D}^{2}/2 - B/a = mv_{N}^{2}/2 - B/(a - c)$. (2)
Из уравнения (2) видно, что скорость электрона тем больше, чем меньше его расстояние от ядра. Значит, в точке $N$ скорость достигает своего наибольшего значения.
Согласно закону сохранения момента импульса,
$mv_{D} \sqrt{a^{2} - c^{2}} = mv_{N} (a - c)$. (3)
Выразим $v_{N}$ из уравнения (3) и подставим в (2):
$\frac{mv_{D}^{2}}{2} - \frac{B}{a} = \frac{mv_{D}^{2}}{2} \frac{a+c}{a-c} - \frac{B}{a-c}$,
откуда
$mv_{D}^{2}/2 = B/(2a)$.
После подстановки кинетической энергии в выражение для полной энергии $E_{D}$ окончательно имеем
$E = - B/(2a)$.
Как видно из полученного результата, полная энергия электрона в атоме водорода зависит только от одного параметра эллиптической орбиты — от большой полуоси эллипса. Следовательно, при любом значении другого параметра эллипса (малой полуоси или эксцентриситета), в том числе и при движении по круговой орбите радиуса а, полная энергия электрона сохраняет то же значение. Это находится в соответствии с теорией Бора.
По данным в условии задачи значениям а и В найдем
$E = - 5,5 \cdot 10^{-17} Дж$.
После решения задачи следует обратить внимание на то, что при выборе начала отсчета $U$ в бесконечности полная энергия электрона, движущегося в поле ядра по эллиптической орбите, всегда отрицательна. В противном случае при положительной полной энергии электрон выйдет за пределы действия сил притяжения со стороны ядра.
По теории Резерфорда—Бора, электрон в атоме может двигаться по плоским эллиптическим орбитам. Какова полная энергия электрона в атоме водорода, если большая полуось эллипса $a = 2,1 \cdot 10^{-8} см$, а ядро находится в одном из фокусов эллипса (рис.)? Сила притяжения электрона к ядру $F = B/r^{2}$, где $r$ — расстояние от ядра до точки, в которой находится электрон; $B = 2,3 \cdot 10^{-28} Н \cdot м^{2}$.
Решение:
Во время движения электрона при любом, его положении на него действует только сила притяжения со стороны ядра. Сила эта, во-первых, зависит только от расстояния $r$, т. е. от координаты точки, в которой находится электрон, во-вторых, направлена к ядру. Следовательно, можно говорить, что электрон движется в силовом поле, консервативном и центральном, центр которого совпадает с положением ядра. При движении в таком поле электрон обладает потенциальной энергией и полная его энергия и момент импульса остаются постоянными. Чтобы найти полную энергию электрона, попробуем записать в явном виде законы сохранения энергии и момента импульса для двух произвольных фиксированных положений электрона на орбите. Это позволит получить два уравнения, содержащих в качестве неизвестных значения скоростей в выбранных точках, а в результате совместного решения этих уравнений найти скорость, а следовательно, и кинетическую энергию электрона в любой из фиксированных точек. Зная кинетическую энергию электрона, можно определить и его полную энергию. Последняя, очевидно, не должна зависеть от координат выбранных точек, но может зависеть от параметров эллипса, по которому движется электрон. Предварительно следует выразить потенциальную энергию электрона в данном силовом поле как функцию координат.
Изменение потенциальной энергии, как всегда, определяется работой сил поля, взятой с обратным знаком:
$dU = - dA_{с.п} = - F_{r} dr$,
где $F_{r}$ — проекция силы на направление радиус-вектора $\vec{r}$.
Если выбрать начало отсчета потенциальной энергии в некоторой точке $L[U(r_{L}) = 0]$, то при переходе из произвольной точки в точку $L$ изменение потенциальной энергии
$U(r_{L}) - U(r) = - \int_{r}^{r_{L}} F_{r} dr$,
откуда потенциальная энергия электрона в любой точке поля
$U(r) = \int_{r}^{r_{L}} F_{r} dr$. (1)
Прежде всего найдем выражение потенциальной энергии электрона в любой точке поля, выбрав в качестве начала отсчета бесконечность $[U( \infty ) = 0]$.
Сила, действующая на электрон, является силой притяжения (направлена к центру поля), следовательно, $F_{r} < 0$. Поскольку в выражении $F = B/r^{2}$ и числитель, и знаменатель положительны, $F_{r} = - B/r^{2}$.
Подставив это выражение в равенство (1), с учетом выбора начала отсчета потенциальной энергии получим
$U(r) = - B \int_{r}^{ \infty} \frac{dr}{r^{2}} = - \frac{B}{r}$.
Тогда полная энергия электрона в любой точке поля
$E = \frac{mv^{2}}{2} - \frac{B}{r}$.
Рассмотрим теперь электрон в точках D и N. Точка D равноудалена от обоих фокусов эллипса, и, следовательно, радиус-вектор $r_{D} = a$ (сумма расстояний от обоих фокусов до любой точки эллипса постоянна и равна $2a$). Полная энергия электрона в точке D
$E_{D} = mv_{D}^{2}/2 - B/a$.
Момент импульса электрона в той же точке $\vec{L}_{D} = \vec{r}_{D} \times m \vec{v}_{D}$. Угол между радиус-вектором $\vec{r}_{D}$ и вектором скорости $\vec{v}_{D}$, как видно из рис. $\alpha = arcsin ( \sqrt{a^{2} - c^{2}} /a)$, где с — расстояние от центра эллипса до любого из фокусов. Таким образом,
$L_{D} = mv_{D} \sqrt{a^{2} - c^{2}}$.
В точке N модуль радиус-вектора $r_{N} = a - c$. Полная энергия
$E_{N} = mv_{N}^{2}/2 - B/(a - c)$.
Поскольку $r_{N} = a - c$ равно минимальному значению радиус-вектора, проекция вектора скорости на радиальное направление в этой точке равна нулю и $\hat{ \vec{v}_{N}, \vec{r}_{N}} = \pi/2$. Поэтому
$L_{N} = mv_{N} (a - c)$.
Согласно закону сохранения энергии,
$mv_{D}^{2}/2 - B/a = mv_{N}^{2}/2 - B/(a - c)$. (2)
Из уравнения (2) видно, что скорость электрона тем больше, чем меньше его расстояние от ядра. Значит, в точке $N$ скорость достигает своего наибольшего значения.
Согласно закону сохранения момента импульса,
$mv_{D} \sqrt{a^{2} - c^{2}} = mv_{N} (a - c)$. (3)
Выразим $v_{N}$ из уравнения (3) и подставим в (2):
$\frac{mv_{D}^{2}}{2} - \frac{B}{a} = \frac{mv_{D}^{2}}{2} \frac{a+c}{a-c} - \frac{B}{a-c}$,
откуда
$mv_{D}^{2}/2 = B/(2a)$.
После подстановки кинетической энергии в выражение для полной энергии $E_{D}$ окончательно имеем
$E = - B/(2a)$.
Как видно из полученного результата, полная энергия электрона в атоме водорода зависит только от одного параметра эллиптической орбиты — от большой полуоси эллипса. Следовательно, при любом значении другого параметра эллипса (малой полуоси или эксцентриситета), в том числе и при движении по круговой орбите радиуса а, полная энергия электрона сохраняет то же значение. Это находится в соответствии с теорией Бора.
По данным в условии задачи значениям а и В найдем
$E = - 5,5 \cdot 10^{-17} Дж$.
После решения задачи следует обратить внимание на то, что при выборе начала отсчета $U$ в бесконечности полная энергия электрона, движущегося в поле ядра по эллиптической орбите, всегда отрицательна. В противном случае при положительной полной энергии электрон выйдет за пределы действия сил притяжения со стороны ядра.
