Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 3485
2017-05-21 
Акробат падает в упругую сетку с высоты $h = 10 м$ (рис.). Во сколько раз наибольшая сила давления акробата на сетку больше его силы тяжести, если статический прогиб сетки $x_{0} = 20 см$? Массой сетки пренебречь.
Решение:
При соприкосновении акробата и сетки возникает сила $\vec{f}$ действия сетки на акробата, равная в любой момент искомой силе давления акробата на сетку. Эта сила достигает максимального значения в низшей точке при $x = x_{max}$.
Вследствие того что сетка упругая, сила $\vec{f}$ пропорциональна прогибу сетки:
$|f_{x}| = kx$,
где $k$ — упругость сетки, $x$ — прогиб сетки. При $x = x_{max}$
$n = kx_{max}/mg$.
В положении равновесия
$kx_{0} = mg$ (1)
и, следовательно,
$n = x_{max}/x_{0}$.
Таким образом, задача сводится к определению максимального прогиба $x_{max}$ сетки.
За все время движения акробата на него действуют или только сила тяжести $m \vec{g}$, или сила тяжести и упругая сила $\vec{f}$. Если рассмотреть движение акробата и упругой сетки в. поле тяготения, то эта система будет консервативна, причем полная ее энергия складывается из кинетической энергии обоих тел, их потенциальной энергии упругого взаимодействия и их потенциальной энергии в поле тяготения. А так как, по условию, масса сетки пренебрежимо мала, то полная энергия системы включает кинетическую энергию акробата, потенциальную энергию упругой сетки и потенциальную энергию акробата в поле тяготения Земли.
Закон сохранения энергии можно записать в виде
$\Delta K + \Delta U_{упр} + \Delta U_{тяг} = 0$. (2)
Для определения $x_{max}$ следует применить уравнение (2) к переходу из какого-либо состояния с известными значениями координаты и скорости в состояние, при котором прогиб сетки максимален.
Рассмотрим переход системы из положения I, когда акробат находится на высоте $h$ над сеткой, а сетка не деформирована, в положение II, когда $x = x_{max}$. Кинетическая энергия акробата и в верхнем, и в нижнем положениях равна нулю, т. е.
$\Delta K = 0$. (3)
При переходе из верхнего положения в нижнее потенциальная энергия акробата в поле тяготения Земли изменится на
$U_{тяг} = - mg (h + x_{max})$. (4)
Потенциальная энергия упругодеформированной сетки изменится (увеличится) на
$\Delta U_{упр} = kx_{max}^{2}/2$. (5)
Подставив выражения (3) — (5) в (2), получим
$-mg (h + x_{max} ) + kx_{max}^{2} /2 = 0$.
Разделив почленно последнее выражение на $k$ и учитывая, что $mg/k = x_{0}$ [см. (1)], после простейших преобразований получим квадратное уравнение относительно $x_{max}$:
$x_{max}^{2} - 2x_{0} x_{max} - 2 x_{0}h = 0$.
Корень этого уравнения $x_{max} = x_{0} + \sqrt{x_{0}^{2} + 2x_{0}h} = 2,2 м$ (второй корень — отрицательный — не имеет смысла). Таким образом,
$n = x_{max}/x_{0} = 11$.
Акробат падает в упругую сетку с высоты $h = 10 м$ (рис.). Во сколько раз наибольшая сила давления акробата на сетку больше его силы тяжести, если статический прогиб сетки $x_{0} = 20 см$? Массой сетки пренебречь.
Решение:
При соприкосновении акробата и сетки возникает сила $\vec{f}$ действия сетки на акробата, равная в любой момент искомой силе давления акробата на сетку. Эта сила достигает максимального значения в низшей точке при $x = x_{max}$.
Вследствие того что сетка упругая, сила $\vec{f}$ пропорциональна прогибу сетки:
$|f_{x}| = kx$,
где $k$ — упругость сетки, $x$ — прогиб сетки. При $x = x_{max}$
$n = kx_{max}/mg$.
В положении равновесия
$kx_{0} = mg$ (1)
и, следовательно,
$n = x_{max}/x_{0}$.
Таким образом, задача сводится к определению максимального прогиба $x_{max}$ сетки.
За все время движения акробата на него действуют или только сила тяжести $m \vec{g}$, или сила тяжести и упругая сила $\vec{f}$. Если рассмотреть движение акробата и упругой сетки в. поле тяготения, то эта система будет консервативна, причем полная ее энергия складывается из кинетической энергии обоих тел, их потенциальной энергии упругого взаимодействия и их потенциальной энергии в поле тяготения. А так как, по условию, масса сетки пренебрежимо мала, то полная энергия системы включает кинетическую энергию акробата, потенциальную энергию упругой сетки и потенциальную энергию акробата в поле тяготения Земли.
Закон сохранения энергии можно записать в виде
$\Delta K + \Delta U_{упр} + \Delta U_{тяг} = 0$. (2)
Для определения $x_{max}$ следует применить уравнение (2) к переходу из какого-либо состояния с известными значениями координаты и скорости в состояние, при котором прогиб сетки максимален.
Рассмотрим переход системы из положения I, когда акробат находится на высоте $h$ над сеткой, а сетка не деформирована, в положение II, когда $x = x_{max}$. Кинетическая энергия акробата и в верхнем, и в нижнем положениях равна нулю, т. е.
$\Delta K = 0$. (3)
При переходе из верхнего положения в нижнее потенциальная энергия акробата в поле тяготения Земли изменится на
$U_{тяг} = - mg (h + x_{max})$. (4)
Потенциальная энергия упругодеформированной сетки изменится (увеличится) на
$\Delta U_{упр} = kx_{max}^{2}/2$. (5)
Подставив выражения (3) — (5) в (2), получим
$-mg (h + x_{max} ) + kx_{max}^{2} /2 = 0$.
Разделив почленно последнее выражение на $k$ и учитывая, что $mg/k = x_{0}$ [см. (1)], после простейших преобразований получим квадратное уравнение относительно $x_{max}$:
$x_{max}^{2} - 2x_{0} x_{max} - 2 x_{0}h = 0$.
Корень этого уравнения $x_{max} = x_{0} + \sqrt{x_{0}^{2} + 2x_{0}h} = 2,2 м$ (второй корень — отрицательный — не имеет смысла). Таким образом,
$n = x_{max}/x_{0} = 11$.
