Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 3484
2017-05-21 
Потенциальная энергия частицы в центральном силовом поле задана как функция расстояния $r$ от центра поля до некоторой точки:
$U(r) = A/r^{2} - B/r$,
где $A = 6 \cdot 10^{-6} Дж \cdot м^{2}; B = 3 \cdot 10^{-4} Дж \cdot м$. Определить, при каких значениях $r$ потенциальная энергия и сила, действующая на частицу, имеют экстремальные значения; найти эти значения. Построить графики зависимости $U(r)$ и $F_{r}(r)$ ($F_{r}$ — проекция вектора силы на направление радиус-вектора $\vec{r}$). Какую минимальную скорость надо сообщить частице массы $m = 0,2 г$, находящейся в положении равновесия, чтобы она могла удалиться от центра поля на расстояние $R = 10 см$ или выйти за пределы действия поля?
Решение:
Частица находится в потенциальном поле. Потенциальная энергия частицы в этом поле — заданная функция одной координаты $r$. Судя по виду функции $U(r)$, начало отсчета потенциальной энергии находится в бесконечности; $U ( \infty ) = 0$. Проекция силы на направление, радиус-вектора г может быть найдена по формуле
$F_{r} = - dU/dr$. (1)
В общем случае, когда потенциальная энергия зависит не только от расстояния $r$, но и от направления радиус-вектора $\vec{r}$, характеризуемого в сферических координатах углами $\theta$ и $\phi$, проекция силы на радиальное направление $F_{r} = - \partial U / \partial r$. В данном случае $ \partial U/ \partial r = d U/ dr$. Для заданной функции
$F_{r} = + 2A / r^{3} - B/r^{2}$. (2)
Поскольку А и В — положительные постоянные величины, то первое слагаемое со знаком «+» соответствует силе отталкивания, второе слагаемое со знаком «-» — силе притяжения.
Радиус-вектор направлен от центра поля к рассматриваемой точке. Если $F_{r} < 0$, то вектор силы $\vec{F}$, действующей на частицу, направлен к центру поля, т. е. $\vec{F}$ является силой притяжения.
Анализ функций $U(r)$ и $F_{r}(r)$ позволит найти их экстремальные значения и построить соответствующие графики.
При движении частицы в таком поле в случае отсутствия других сил полная энергия частицы постоянна:
$\Delta U + \Delta K = 0$. (3)
Применение этого уравнения к переходу из положения равновесия в некоторые фиксированные точки ($r = R$ и $r \rightarrow \infty$) в предположении, что в них скорость частицы обращается в нуль, позволит найти минимальные скорости для выхода из положения равновесия.
Для определения экстремальных значений потенциальной энергии $U$ следует найти значения $r$, при которых первая производная $dU/dr$ обращается в нуль:
$\frac{dU}{dr} = - \frac{2A}{r^{3}} + \frac{B}{r^{2}}$,
$- \frac{2A}{r^{3}} + \frac{B}{r^{2}} = \frac{1}{r^{3}} ( -2A + Br) = 0$,
откуда $dU/dr = 0$ при $r = r_{1} = 2A/B = 4 см$,
$U_{1} = U(r_{1}) = - 3,8 мДж$.
Легко видеть, что $dU/dr > 0$ при $r$, чуть большем $r_{1}$. Следовательно, найденное экстремальное значение $U = U_{min}$ и при $r = r_{1}$, рассматриваемая частица находится в положении устойчивого равновесия.
Для построения графика $U(r)$ найдем еще значения $r$, при которых $U(r) = 0$ (кроме $r \rightarrow infty$):
$\frac{A}{r^{2}} - \frac{B}{r} = 0, \frac{1}{r^{2}} (A - Br) = 0$,
при $r = r_{0} = A/B = 2 см U(r_{0}) = 0$. График $U(r)$ показан на рис. а.
Для вычисления экстремальных значений $F_{r}(r)$ следует найти значения $r$, при которых первая производная $dF_{r}/dr$ обращается в нуль. На основании уравнения (2)
$\frac{dF_[r]}{dr} = - \frac{6A}{r^{4}} + \frac{2B}{r^{3}} = \frac{2}{r^{4}} (- 3A + Br)$,
$\frac{2}{r^{4}} (-3A + Br) = 0$,
откуда $dF_{r}/dr = 0$ при $r = r^{ \prime} = 3A/B = 6 см$. При этом $F_{r} (r^{ \prime}) = - 0,028 Н$. Знак «-» показывает, что при $r = r^{ \prime}$ на частицу действует сила притяжения. Значения $r$, при которых $F_{r} = 0$, уже известны: $F_{r} = 0$ при $r \rightarrow \infty$ и при $r = r^{ \prime}$. График $F_{r} (r)$ показан на рис. б.
После построения графиков следует обратить внимание на то, что при движении частицы, например, из бесконечности к центру поля до $r = r_{1}$ результирующая сила является силой притяжения {$F_{r} < 0$) и потенциальная энергия убывает. Зато кинетическая энергия, если на частицу не действуют никакие другие силы, кроме данного поля, возрастет, так как силы поля совершают положительную работу. Когда частица перейдет значение $r = r_{1}$, она попадет в область, где $F_{r} > 0$, т. е. в область, где результирующая сила является силой отталкивания. Соответственно потенциальная энергия частицы при уменьшении $r$ увеличивается, а кинетическая энергия уменьшается.
Рассмотрим теперь переход частицы заданной массы из точки $r_{1}$, где частица находится в равновесии, в точку $r_{2} = R$, считая, что в точке $r_{1}$ неизвестная скорость $v_{1}$ направлена строго по радиус-вектору, а в точке $r_{2}$ скорость $v_{2} = 0$. Применим к этому переходу уравнение (3):
$\Delta U_{12} = U(R) - U ( r_{1}), \Delta K = - mv_{1}^{2} /2$. (4)
Подставив выражения (4) в (3), получим:
$v_{1} = \sqrt{2 [U(R) - U(r_{1})]/m}$;
$U(R) = - 2,4 \cdot 10^{-3} Дж; v_{1} = 3,7 м/с$.
При $r_{2} \rightarrow \infty$
$\Delta U_{12} = U( \infty) - U(r_{1}), \Delta K = - \frac{m(v_{1}^{ \prime})^{2}}{2}$. (5)
Подставив выражения (5) в (3), получим:
$v_{1}^{ \prime} = \sqrt{ 2[U( \infty) - U(r_{1})]/m }; U( \infty) = 0; v_{1}^{ \prime} = 6,2 м/с$.
Потенциальная энергия частицы в центральном силовом поле задана как функция расстояния $r$ от центра поля до некоторой точки:
$U(r) = A/r^{2} - B/r$,
где $A = 6 \cdot 10^{-6} Дж \cdot м^{2}; B = 3 \cdot 10^{-4} Дж \cdot м$. Определить, при каких значениях $r$ потенциальная энергия и сила, действующая на частицу, имеют экстремальные значения; найти эти значения. Построить графики зависимости $U(r)$ и $F_{r}(r)$ ($F_{r}$ — проекция вектора силы на направление радиус-вектора $\vec{r}$). Какую минимальную скорость надо сообщить частице массы $m = 0,2 г$, находящейся в положении равновесия, чтобы она могла удалиться от центра поля на расстояние $R = 10 см$ или выйти за пределы действия поля?
Решение:
Частица находится в потенциальном поле. Потенциальная энергия частицы в этом поле — заданная функция одной координаты $r$. Судя по виду функции $U(r)$, начало отсчета потенциальной энергии находится в бесконечности; $U ( \infty ) = 0$. Проекция силы на направление, радиус-вектора г может быть найдена по формуле
$F_{r} = - dU/dr$. (1)
В общем случае, когда потенциальная энергия зависит не только от расстояния $r$, но и от направления радиус-вектора $\vec{r}$, характеризуемого в сферических координатах углами $\theta$ и $\phi$, проекция силы на радиальное направление $F_{r} = - \partial U / \partial r$. В данном случае $ \partial U/ \partial r = d U/ dr$. Для заданной функции
$F_{r} = + 2A / r^{3} - B/r^{2}$. (2)
Поскольку А и В — положительные постоянные величины, то первое слагаемое со знаком «+» соответствует силе отталкивания, второе слагаемое со знаком «-» — силе притяжения.
Радиус-вектор направлен от центра поля к рассматриваемой точке. Если $F_{r} < 0$, то вектор силы $\vec{F}$, действующей на частицу, направлен к центру поля, т. е. $\vec{F}$ является силой притяжения.
Анализ функций $U(r)$ и $F_{r}(r)$ позволит найти их экстремальные значения и построить соответствующие графики.
При движении частицы в таком поле в случае отсутствия других сил полная энергия частицы постоянна:
$\Delta U + \Delta K = 0$. (3)
Применение этого уравнения к переходу из положения равновесия в некоторые фиксированные точки ($r = R$ и $r \rightarrow \infty$) в предположении, что в них скорость частицы обращается в нуль, позволит найти минимальные скорости для выхода из положения равновесия.
Для определения экстремальных значений потенциальной энергии $U$ следует найти значения $r$, при которых первая производная $dU/dr$ обращается в нуль:
$\frac{dU}{dr} = - \frac{2A}{r^{3}} + \frac{B}{r^{2}}$,
$- \frac{2A}{r^{3}} + \frac{B}{r^{2}} = \frac{1}{r^{3}} ( -2A + Br) = 0$,
откуда $dU/dr = 0$ при $r = r_{1} = 2A/B = 4 см$,
$U_{1} = U(r_{1}) = - 3,8 мДж$.
Легко видеть, что $dU/dr > 0$ при $r$, чуть большем $r_{1}$. Следовательно, найденное экстремальное значение $U = U_{min}$ и при $r = r_{1}$, рассматриваемая частица находится в положении устойчивого равновесия.
Для построения графика $U(r)$ найдем еще значения $r$, при которых $U(r) = 0$ (кроме $r \rightarrow infty$):
$\frac{A}{r^{2}} - \frac{B}{r} = 0, \frac{1}{r^{2}} (A - Br) = 0$,
при $r = r_{0} = A/B = 2 см U(r_{0}) = 0$. График $U(r)$ показан на рис. а.
Для вычисления экстремальных значений $F_{r}(r)$ следует найти значения $r$, при которых первая производная $dF_{r}/dr$ обращается в нуль. На основании уравнения (2)
$\frac{dF_[r]}{dr} = - \frac{6A}{r^{4}} + \frac{2B}{r^{3}} = \frac{2}{r^{4}} (- 3A + Br)$,
$\frac{2}{r^{4}} (-3A + Br) = 0$,
откуда $dF_{r}/dr = 0$ при $r = r^{ \prime} = 3A/B = 6 см$. При этом $F_{r} (r^{ \prime}) = - 0,028 Н$. Знак «-» показывает, что при $r = r^{ \prime}$ на частицу действует сила притяжения. Значения $r$, при которых $F_{r} = 0$, уже известны: $F_{r} = 0$ при $r \rightarrow \infty$ и при $r = r^{ \prime}$. График $F_{r} (r)$ показан на рис. б.
После построения графиков следует обратить внимание на то, что при движении частицы, например, из бесконечности к центру поля до $r = r_{1}$ результирующая сила является силой притяжения {$F_{r} < 0$) и потенциальная энергия убывает. Зато кинетическая энергия, если на частицу не действуют никакие другие силы, кроме данного поля, возрастет, так как силы поля совершают положительную работу. Когда частица перейдет значение $r = r_{1}$, она попадет в область, где $F_{r} > 0$, т. е. в область, где результирующая сила является силой отталкивания. Соответственно потенциальная энергия частицы при уменьшении $r$ увеличивается, а кинетическая энергия уменьшается.
Рассмотрим теперь переход частицы заданной массы из точки $r_{1}$, где частица находится в равновесии, в точку $r_{2} = R$, считая, что в точке $r_{1}$ неизвестная скорость $v_{1}$ направлена строго по радиус-вектору, а в точке $r_{2}$ скорость $v_{2} = 0$. Применим к этому переходу уравнение (3):
$\Delta U_{12} = U(R) - U ( r_{1}), \Delta K = - mv_{1}^{2} /2$. (4)
Подставив выражения (4) в (3), получим:
$v_{1} = \sqrt{2 [U(R) - U(r_{1})]/m}$;
$U(R) = - 2,4 \cdot 10^{-3} Дж; v_{1} = 3,7 м/с$.
При $r_{2} \rightarrow \infty$
$\Delta U_{12} = U( \infty) - U(r_{1}), \Delta K = - \frac{m(v_{1}^{ \prime})^{2}}{2}$. (5)
Подставив выражения (5) в (3), получим:
$v_{1}^{ \prime} = \sqrt{ 2[U( \infty) - U(r_{1})]/m }; U( \infty) = 0; v_{1}^{ \prime} = 6,2 м/с$.
