Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 3483
2017-05-21 
С вершины идеально гладкой сферы соскальзывает небольшой груз. С какой высоты $h$, считая от вершины, груз сорвется со сферы? Радиус сферы $R = 90 см$ (рис.).
Решение:
Груз, который, очевидно, можно считать точечным телом, до некоторой точки — точки отрыва от сферы — движется по дуге окружности радиуса $R$.
На груз во время его движения по сфере действуют сила тяжести $m \vec{g}$ и сила нормальной реакции $\vec{N}$ со стороны сферы. Уравнение второго закона Ньютона для этой части траектории имеет вид
$m \vec{a} = m \vec{g} + \vec{N}$. (1)
Проекции этих сил на направление, нормальное к траектории, сообщают телу нормальное ускорение $a_{n} = v^{2}/R$, где $v$ — мгновенная (и, очевидно, непрерывно возрастающая) скорость тела. В точке С отрыва прекращается взаимодействие между движущимся телом и поверхностью сферы, и, следовательно, сила давления тела на сферу и соответственно сила нормальной реакции $N$ обращаются в нуль. (Начиная с этой точки тело движется только под действием силы тяжести, и траектория его будет зависеть от модуля и направления скорости $\vec{v}_{c}$ в точке отрыва от сферы.) Таким образом, в этой точке нормальное ускорение, однозначно зависящее от скорости, сообщает телу только проекция силы тяжести. Для того чтобы определить высоту, на которой находится точка отрыва, надо найти связь скорости тела при его движении по сфере с его координатами, в частности с высотой. Такую связь можно найти, зная законы изменения со временем координат и скорости тела. Можно это сделать и рассматривая движение тела в поле тяготения Земли. Поскольку сила нормальной реакции работы не совершает, полная энергия тела остается постоянной, т. е.
$\Delta E = \Delta K + \Delta U = 0$. (2)
Очевидно, что применение закона сохранения энергии к переходу из начального состояния в точку отрыва даст в явном виде связь между скоростью тела и высотой рассматриваемой точки.
При скольжении груза по сфере потенциальная энергия изменяется на
$\Delta U = - mgh$,
где $h$ — искомая высота, отсчитываемая от вершины сферы. Кинетическая энергия груза возрастает на
$\Delta K = mv_{c}^{2}/2 - mv_{0}^{2}/2$.
На вершине сферы груз находится в положении неустойчивого равновесия, и скорость $v_{0}$, необходимую для начала движения, можно считать пренебрежимо малой. Тогда, подставляя найденные выражения в (2), получаем
$ - mgh + mv_{c}^{2} /2 = 0$. (3)
Чтобы от векторного уравнения (1) перейти к скалярным соотношениям, введем ось X. Тогда $a_{x} = a_{n} = v^{2}/R$. Ha основании уравнения (1) $mv^{2}/R = mg \cos \alpha - N$. В точке отрыва от сферы $a_{n} = v_{c}^{2} /R, N = 0$, следовательно,
$mv_{c}^{2} = mg \cos \alpha$.
Как видно из рисунка, $\cos \alpha = (R - h)/R$. Тогда
$mv_{c}^{2} = mg(R - h)$. (4)
Уравнения (3) и (4) содержат скорость $v_{c}$ и высоту $h$, относящиеся к одной и той же точке, и образуют систему уравнений, совместное решение которой позволяет найти
$h = R/3 = 0,3 м$.
С вершины идеально гладкой сферы соскальзывает небольшой груз. С какой высоты $h$, считая от вершины, груз сорвется со сферы? Радиус сферы $R = 90 см$ (рис.).
Решение:
Груз, который, очевидно, можно считать точечным телом, до некоторой точки — точки отрыва от сферы — движется по дуге окружности радиуса $R$.
На груз во время его движения по сфере действуют сила тяжести $m \vec{g}$ и сила нормальной реакции $\vec{N}$ со стороны сферы. Уравнение второго закона Ньютона для этой части траектории имеет вид
$m \vec{a} = m \vec{g} + \vec{N}$. (1)
Проекции этих сил на направление, нормальное к траектории, сообщают телу нормальное ускорение $a_{n} = v^{2}/R$, где $v$ — мгновенная (и, очевидно, непрерывно возрастающая) скорость тела. В точке С отрыва прекращается взаимодействие между движущимся телом и поверхностью сферы, и, следовательно, сила давления тела на сферу и соответственно сила нормальной реакции $N$ обращаются в нуль. (Начиная с этой точки тело движется только под действием силы тяжести, и траектория его будет зависеть от модуля и направления скорости $\vec{v}_{c}$ в точке отрыва от сферы.) Таким образом, в этой точке нормальное ускорение, однозначно зависящее от скорости, сообщает телу только проекция силы тяжести. Для того чтобы определить высоту, на которой находится точка отрыва, надо найти связь скорости тела при его движении по сфере с его координатами, в частности с высотой. Такую связь можно найти, зная законы изменения со временем координат и скорости тела. Можно это сделать и рассматривая движение тела в поле тяготения Земли. Поскольку сила нормальной реакции работы не совершает, полная энергия тела остается постоянной, т. е.
$\Delta E = \Delta K + \Delta U = 0$. (2)
Очевидно, что применение закона сохранения энергии к переходу из начального состояния в точку отрыва даст в явном виде связь между скоростью тела и высотой рассматриваемой точки.
При скольжении груза по сфере потенциальная энергия изменяется на
$\Delta U = - mgh$,
где $h$ — искомая высота, отсчитываемая от вершины сферы. Кинетическая энергия груза возрастает на
$\Delta K = mv_{c}^{2}/2 - mv_{0}^{2}/2$.
На вершине сферы груз находится в положении неустойчивого равновесия, и скорость $v_{0}$, необходимую для начала движения, можно считать пренебрежимо малой. Тогда, подставляя найденные выражения в (2), получаем
$ - mgh + mv_{c}^{2} /2 = 0$. (3)
Чтобы от векторного уравнения (1) перейти к скалярным соотношениям, введем ось X. Тогда $a_{x} = a_{n} = v^{2}/R$. Ha основании уравнения (1) $mv^{2}/R = mg \cos \alpha - N$. В точке отрыва от сферы $a_{n} = v_{c}^{2} /R, N = 0$, следовательно,
$mv_{c}^{2} = mg \cos \alpha$.
Как видно из рисунка, $\cos \alpha = (R - h)/R$. Тогда
$mv_{c}^{2} = mg(R - h)$. (4)
Уравнения (3) и (4) содержат скорость $v_{c}$ и высоту $h$, относящиеся к одной и той же точке, и образуют систему уравнений, совместное решение которой позволяет найти
$h = R/3 = 0,3 м$.
