Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 3482
2017-05-21 
Модель ракеты движется при отсутствии внешних сил, выбрасывая непрерывную струю газов с постоянной относительно нее скоростью $v^{ \prime} = 800 м/с$ (рис.). Расход газа $\mu = 0,4 кг/с$, начальная масса ракеты $m_{0} = 1,2 кг$. Какую скорость относительно Земли приобретет ракета через время $t = 1 с$ после начала движения, если начальная скорость равна нулю? Оценить погрешность, сделанную при пренебрежении силой тяжести.
Решение:
Ракета переменной массы и газ, выбрасываемый из ракеты с заданной постоянной относительной скоростью, совершают поступательное движение. Поскольку в .условии оговорено отсутствие внешних сил, импульс системы тел ракета — выбрасываемый газ остается постоянным. Импульс каждого из тел изменяется непрерывно со временем, поэтому следует найти изменение импульса ракеты $d \vec{p}_{1}$, за некоторый промежуток времени $dt$ и изменение импульса $d \vec{p}_{2}$ той порции газа, которая за промежуток времени $dt$ выбрасывается из ракеты. Так как система замкнута, то
$d \vec{p} = d \vec{p}_{1} + d \vec{p}_{2} = 0$. (1)
Если в момент времени $t$ ракета обладала скоростью $\vec{v}$ и массой $m = m_{0} - \mu t$, то за интервал $dt$ скорость ракеты за счет реактивного действия выбрасываемой струи газа изменяется на $d \vec{v}$, а импульс ракеты — на
$d \vec{p}_{1} = ( m_{0} - \mu t) d \vec{v}$. (2)
Порция газа $\mu dt$ двигаясь вместе с ракетой, обладала скоростью $\vec{v}$. Покинув ракету за промежуток времени $dt$, эта же масса газа приобретает относительно Земли скорость $\vec{v} + \vec{v}^{ \prime}$. Следовательно, за это же время импульс порции газа $\mu dt$, выброшенной из ракеты, изменяется на
$d \vec{p}_{2} = \mu dt \vec{v}^{ \prime}$. (3)
Подставив выражения (2) и (3) в (1), получим
$(m_{0} - \mu t) d \vec{v} + \mu dt \vec{v}^{ \prime} = 0$
или
$(m_{0} - \mu t) d \vec{v} = - \mu \vec{v}^{ \prime} dt$. (4)
Переходя к скалярным соотношениям, после интегрирования можно найти скорость ракеты к моменту времени $t$.
Если учитывать действие силы тяжести, внешней по отношению к рассматриваемой системе, то уравнения (1) и (4) соответственно примут вид
$d \vec{p} = d \vec{p}_{1} + d \vec{p}_{2} = \vec{F} dt$,
$(m_{0} - \mu t) d \vec{v} = ( \vec{F} - \mu \vec{v}^{ \prime} ) dt$. (5)
В данном случае $\vec{F} = (m_{0} - \mu t) \vec{g}$.
Если начальной скорости у ракеты не было, то движение ракеты будет прямолинейным. Введем ось X, направленную по вектору скорости $\vec{v}$ ракеты, тогда $v_{x}^{ \prime} = - v^{ \prime}$. Уравнение (4) может быть переписано в скалярном виде:
$(m_{0} - \mu t) dv = \mu v^{ \prime} dt$. (6)
Разделив обе части уравнения (6) на $(m_{0} - \mu t)$ получим
$dv = v^{ \prime} \mu dt /(m_{0} - \mu t)$. (7)
Скорость $v$ как функцию времени найдем при интегрировании выражения (7) в пределах от 0 до $t$. При $t = 0 v = 0$, следовательно,
$v = v^{ \prime} \int_{0}^{t} \frac{ \mu dt}{m_{0} - \mu t}$, откуда $v = v^{ \prime} ln \frac{m_{0}}{m_{0} - \mu t} \approx 320 м/с$.
Если учитывать действие силы тяжести, то уравнение (5) примет вид
$(m_{0} - \mu t) d \vec{v} = [(m_{0} - \mu t) \vec{g} - \mu \vec{v}^{ \prime}] dt$. (8)
Для оценки максимальной погрешности следует взять наибольшее значение силы тяжести $m_{0}g$ (в момент старта ракеты) и предположить, что ракета движется вертикально вверх, а вектор $\vec{v}^{ \prime}$ направлен вниз коллинеарно с вектором $\vec{g}$. Тогда уравнение (8) в скалярном виде имеет вид
$(m_{0} - \mu t) dv = \mu v^{ \prime} [1 - m_{0}g/( \mu v^{ \prime})] dt$. (9)
Не учитывая силы тяжести, как видно из сопоставления выражений (6) и (9), мы фактически пренебрегаем членом $m_{0}g / ( \mu v^{ \prime})$ по сравнению с единицей. Для данных задачи это составляет 0,037. Можно показать, что пренебрежение силой тяжести в окончательном выражении для скорости даст ту же относительную погрешность. Обозначим в уравнении (9) коэффициентом С выражение, стоящее в скобках в правой части. Разделив обе части уравнения (9) на $(m_{0} - \mu t)$ и проведя интегрирование, получим, что истинная скорость
$v_{ист} = Cv^{ \prime} ln \frac{m_{0}}{m_{0} - \mu t}$.
Относительная погрешность
$\delta v = |v - v_{ист}|/v$.
Учитывая, что $C = 1 - m_{0}g/( \mu v^{ \prime})$, получаем
$\delta v = m_{0}g/ ( \mu v^{ \prime}) = 0,037$, т. е. 3,7%.
Модель ракеты движется при отсутствии внешних сил, выбрасывая непрерывную струю газов с постоянной относительно нее скоростью $v^{ \prime} = 800 м/с$ (рис.). Расход газа $\mu = 0,4 кг/с$, начальная масса ракеты $m_{0} = 1,2 кг$. Какую скорость относительно Земли приобретет ракета через время $t = 1 с$ после начала движения, если начальная скорость равна нулю? Оценить погрешность, сделанную при пренебрежении силой тяжести.
Решение:
Ракета переменной массы и газ, выбрасываемый из ракеты с заданной постоянной относительной скоростью, совершают поступательное движение. Поскольку в .условии оговорено отсутствие внешних сил, импульс системы тел ракета — выбрасываемый газ остается постоянным. Импульс каждого из тел изменяется непрерывно со временем, поэтому следует найти изменение импульса ракеты $d \vec{p}_{1}$, за некоторый промежуток времени $dt$ и изменение импульса $d \vec{p}_{2}$ той порции газа, которая за промежуток времени $dt$ выбрасывается из ракеты. Так как система замкнута, то
$d \vec{p} = d \vec{p}_{1} + d \vec{p}_{2} = 0$. (1)
Если в момент времени $t$ ракета обладала скоростью $\vec{v}$ и массой $m = m_{0} - \mu t$, то за интервал $dt$ скорость ракеты за счет реактивного действия выбрасываемой струи газа изменяется на $d \vec{v}$, а импульс ракеты — на
$d \vec{p}_{1} = ( m_{0} - \mu t) d \vec{v}$. (2)
Порция газа $\mu dt$ двигаясь вместе с ракетой, обладала скоростью $\vec{v}$. Покинув ракету за промежуток времени $dt$, эта же масса газа приобретает относительно Земли скорость $\vec{v} + \vec{v}^{ \prime}$. Следовательно, за это же время импульс порции газа $\mu dt$, выброшенной из ракеты, изменяется на
$d \vec{p}_{2} = \mu dt \vec{v}^{ \prime}$. (3)
Подставив выражения (2) и (3) в (1), получим
$(m_{0} - \mu t) d \vec{v} + \mu dt \vec{v}^{ \prime} = 0$
или
$(m_{0} - \mu t) d \vec{v} = - \mu \vec{v}^{ \prime} dt$. (4)
Переходя к скалярным соотношениям, после интегрирования можно найти скорость ракеты к моменту времени $t$.
Если учитывать действие силы тяжести, внешней по отношению к рассматриваемой системе, то уравнения (1) и (4) соответственно примут вид
$d \vec{p} = d \vec{p}_{1} + d \vec{p}_{2} = \vec{F} dt$,
$(m_{0} - \mu t) d \vec{v} = ( \vec{F} - \mu \vec{v}^{ \prime} ) dt$. (5)
В данном случае $\vec{F} = (m_{0} - \mu t) \vec{g}$.
Если начальной скорости у ракеты не было, то движение ракеты будет прямолинейным. Введем ось X, направленную по вектору скорости $\vec{v}$ ракеты, тогда $v_{x}^{ \prime} = - v^{ \prime}$. Уравнение (4) может быть переписано в скалярном виде:
$(m_{0} - \mu t) dv = \mu v^{ \prime} dt$. (6)
Разделив обе части уравнения (6) на $(m_{0} - \mu t)$ получим
$dv = v^{ \prime} \mu dt /(m_{0} - \mu t)$. (7)
Скорость $v$ как функцию времени найдем при интегрировании выражения (7) в пределах от 0 до $t$. При $t = 0 v = 0$, следовательно,
$v = v^{ \prime} \int_{0}^{t} \frac{ \mu dt}{m_{0} - \mu t}$, откуда $v = v^{ \prime} ln \frac{m_{0}}{m_{0} - \mu t} \approx 320 м/с$.
Если учитывать действие силы тяжести, то уравнение (5) примет вид
$(m_{0} - \mu t) d \vec{v} = [(m_{0} - \mu t) \vec{g} - \mu \vec{v}^{ \prime}] dt$. (8)
Для оценки максимальной погрешности следует взять наибольшее значение силы тяжести $m_{0}g$ (в момент старта ракеты) и предположить, что ракета движется вертикально вверх, а вектор $\vec{v}^{ \prime}$ направлен вниз коллинеарно с вектором $\vec{g}$. Тогда уравнение (8) в скалярном виде имеет вид
$(m_{0} - \mu t) dv = \mu v^{ \prime} [1 - m_{0}g/( \mu v^{ \prime})] dt$. (9)
Не учитывая силы тяжести, как видно из сопоставления выражений (6) и (9), мы фактически пренебрегаем членом $m_{0}g / ( \mu v^{ \prime})$ по сравнению с единицей. Для данных задачи это составляет 0,037. Можно показать, что пренебрежение силой тяжести в окончательном выражении для скорости даст ту же относительную погрешность. Обозначим в уравнении (9) коэффициентом С выражение, стоящее в скобках в правой части. Разделив обе части уравнения (9) на $(m_{0} - \mu t)$ и проведя интегрирование, получим, что истинная скорость
$v_{ист} = Cv^{ \prime} ln \frac{m_{0}}{m_{0} - \mu t}$.
Относительная погрешность
$\delta v = |v - v_{ист}|/v$.
Учитывая, что $C = 1 - m_{0}g/( \mu v^{ \prime})$, получаем
$\delta v = m_{0}g/ ( \mu v^{ \prime}) = 0,037$, т. е. 3,7%.
