Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 3480
2017-05-21 
После абсолютно упругого соударения тела массы $m_{1}$, двигавшегося поступательно, с покоившимся телом массы $m_{2}$ оба тела разлетаются симметрично относительно направления вектора скорости первого тела до удара (рис.). Определить, при каких значениях $n = m_{1}/m_{2}$ это возможно. Рассчитать $n$ для двух случаев: угол $\theta$ между векторами скоростей тел после удара равен $\pi /3$ и $\pi /2$.
Решение:
Происходит абсолютно упругое соударение двух тел. Конкретные условия, при которых происходит соударение, — направление и модуль вектора скорости первого тела $v_{1}$ до удара, наличие других тел, взаимодействующих с данными, форма соударяющихся тел — не оговорены. Очевидно, задача может быть решена только в предположении, что на тела $m_{1}$ и $m_{2}$ никакие другие силы, кроме сил, возникающих при ударе, не действуют. Это предположение не накладывает никаких особых требований на условия, в которых происходит удар: средние силы, возникающие при ударе, настолько велики и притом кратковременны, что действием других сил на каждое из тел за время удара можно пренебречь. Если рассматривать не каждое из тел в отдельности, а систему тел $m_{1}, m_{2}$, то силы, возникающие при ударе, будут внутренними, а система — замкнутой в течение времени удара. Импульс такой системы постоянен:
$\vec{p}_{I} = \vec{p}_{II}, m_{1} \vec{v}_{1} = m_{1} \vec{u}_{1} + m_{2} \vec{u}_{2}$, (1)
где $\vec{u}_{1}$ и $\vec{u}_{2}$ — скорости тел после удара.
Поскольку удар абсолютно упругий, кинетическая энергия системы также постоянна:
$\vec{K}_{1} = \vec{K}_{2}$. (2)
Так как тело $m_{1}$ до соударения двигалось поступательно, то после удара тела сохранят поступательное движение, если выполняются следующие условия:
1) отсутствуют силы трения между соударяющимися телами (а в случае скольжения по горизонтальной плоскости — также между телами и плоскостью);
2) удар центральный: центры масс соударяющихся тел лежат на линии удара, т. е. на прямой, проходящей через точку соприкосновения соударяющихся тел, нормально к поверхностям этих тел в точке их соприкосновения. В этом случае линия действия сил, возникающих при ударе, проходит через центры масс тел, поэтому после удара тела движутся поступательно. Следует отметить, что если соударяющиеся тела — шары, то удар всегда центральный.
Для поступательного движения уравнение (2) имеет вид
$m_{1}v_{2}^{2}/2 = m_{1}u_{1}^{2}/2 + m_{2}u_{2}^{2}/2$. (3)
Чтобы от уравнения (1) перейти к скалярным соотношениям, введем оси координат. В проекциях на оси ОХ и OY
$p_{Iy} = 0, p_{IIy} = m_{1}u_{1} \sin ( \theta /2) - m_{2}u_{2} \sin ( \theta /2)$;
$p_{Ix} = m_{1}v_{1}, p_{IIx} = m_{1}u_{1} \cos ( \theta /2) + m_{2}u_{2} \cos ( \theta /2)$
и уравнению (1) соответствуют скалярные соотношения
$0 = m_{1}u_{1} \sin ( \theta /2) - m_{2}u_{2} \sin ( \theta /2)$, (4)
$m_{1}v_{1} = m_{1}u_{1} \cos ( \theta /2) + m_{2}u_{2} \cos ( \theta /2)$. (5)
Из уравнения (4) следует, что $m_{1}u_{1} = m_{2}u_{2}$. Подставляя это выражение в (5) и (3) при замене $m_{2} = m_{1}/n$, получаем:
$m_{1}v_{1} = 2m_{1}u_{1} \cos ( \theta /2), m_{1}v^{2} = m_{1}u_{1}^{2} (n + 1)$. (6)
Уравнения (6) образуют систему, совместное решение которой
$4 \cos^{2} ( \theta /2) = n + 1$. (7)
Если тело $m_{1}$ обладает меньшей массой, чем покоившееся тело $m_{2}$, то $0 < n \leq 1$. В этом случае [см. (7)]
$\frac{1}{4} < \cos^{2} \frac{ \theta}{2} \leq \frac{1}{2}, \frac{1}{2} < \cos \frac{ \theta}{2} \leq \frac{ \sqrt{2}}{2}$.
Следовательно, угол, образованный вектором скорости любого из тел после удара и вектором $\vec{v}$, удовлетворяет условию
$\frac{ \pi}{3} > \frac{ \theta}{2} \geq \frac{ \pi}{4}$.
Если тело $m_{1}$ обладает массой большей, чем $m_{2}$, то $n \geq 1$ и
$\cos^{2} \frac{ \theta}{2} \geq \frac{1}{2}, \frac{ \theta}{2} \leq \frac{ \pi}{4}$.
Кроме того, из выражения (7) очевидно, что наибольшее значение $n$, при котором возможен симметричный разлет тел, $n_{макс} = 3$. При этом $\cos^{2} ( \theta /2) = 1, \theta /2 = 0$, т. е. оба тела после удара движутся по направлению вектора $\vec{v}$ — удар прямой:
при $\theta = \pi /3 ( \theta /2 = \pi /6) n = 2$;
при $\theta = \pi /2 ( \theta /2 = \pi /4) n = 1$.
Следует заметить, что после абсолютно упругого косого удара двух тел одинаковой массы, одно из которых до удара покоилось, они всегда разлетаются под углом $\theta = \pi /2$ друг к другу.
После абсолютно упругого соударения тела массы $m_{1}$, двигавшегося поступательно, с покоившимся телом массы $m_{2}$ оба тела разлетаются симметрично относительно направления вектора скорости первого тела до удара (рис.). Определить, при каких значениях $n = m_{1}/m_{2}$ это возможно. Рассчитать $n$ для двух случаев: угол $\theta$ между векторами скоростей тел после удара равен $\pi /3$ и $\pi /2$.
Решение:
Происходит абсолютно упругое соударение двух тел. Конкретные условия, при которых происходит соударение, — направление и модуль вектора скорости первого тела $v_{1}$ до удара, наличие других тел, взаимодействующих с данными, форма соударяющихся тел — не оговорены. Очевидно, задача может быть решена только в предположении, что на тела $m_{1}$ и $m_{2}$ никакие другие силы, кроме сил, возникающих при ударе, не действуют. Это предположение не накладывает никаких особых требований на условия, в которых происходит удар: средние силы, возникающие при ударе, настолько велики и притом кратковременны, что действием других сил на каждое из тел за время удара можно пренебречь. Если рассматривать не каждое из тел в отдельности, а систему тел $m_{1}, m_{2}$, то силы, возникающие при ударе, будут внутренними, а система — замкнутой в течение времени удара. Импульс такой системы постоянен:
$\vec{p}_{I} = \vec{p}_{II}, m_{1} \vec{v}_{1} = m_{1} \vec{u}_{1} + m_{2} \vec{u}_{2}$, (1)
где $\vec{u}_{1}$ и $\vec{u}_{2}$ — скорости тел после удара.
Поскольку удар абсолютно упругий, кинетическая энергия системы также постоянна:
$\vec{K}_{1} = \vec{K}_{2}$. (2)
Так как тело $m_{1}$ до соударения двигалось поступательно, то после удара тела сохранят поступательное движение, если выполняются следующие условия:
1) отсутствуют силы трения между соударяющимися телами (а в случае скольжения по горизонтальной плоскости — также между телами и плоскостью);
2) удар центральный: центры масс соударяющихся тел лежат на линии удара, т. е. на прямой, проходящей через точку соприкосновения соударяющихся тел, нормально к поверхностям этих тел в точке их соприкосновения. В этом случае линия действия сил, возникающих при ударе, проходит через центры масс тел, поэтому после удара тела движутся поступательно. Следует отметить, что если соударяющиеся тела — шары, то удар всегда центральный.
Для поступательного движения уравнение (2) имеет вид
$m_{1}v_{2}^{2}/2 = m_{1}u_{1}^{2}/2 + m_{2}u_{2}^{2}/2$. (3)
Чтобы от уравнения (1) перейти к скалярным соотношениям, введем оси координат. В проекциях на оси ОХ и OY
$p_{Iy} = 0, p_{IIy} = m_{1}u_{1} \sin ( \theta /2) - m_{2}u_{2} \sin ( \theta /2)$;
$p_{Ix} = m_{1}v_{1}, p_{IIx} = m_{1}u_{1} \cos ( \theta /2) + m_{2}u_{2} \cos ( \theta /2)$
и уравнению (1) соответствуют скалярные соотношения
$0 = m_{1}u_{1} \sin ( \theta /2) - m_{2}u_{2} \sin ( \theta /2)$, (4)
$m_{1}v_{1} = m_{1}u_{1} \cos ( \theta /2) + m_{2}u_{2} \cos ( \theta /2)$. (5)
Из уравнения (4) следует, что $m_{1}u_{1} = m_{2}u_{2}$. Подставляя это выражение в (5) и (3) при замене $m_{2} = m_{1}/n$, получаем:
$m_{1}v_{1} = 2m_{1}u_{1} \cos ( \theta /2), m_{1}v^{2} = m_{1}u_{1}^{2} (n + 1)$. (6)
Уравнения (6) образуют систему, совместное решение которой
$4 \cos^{2} ( \theta /2) = n + 1$. (7)
Если тело $m_{1}$ обладает меньшей массой, чем покоившееся тело $m_{2}$, то $0 < n \leq 1$. В этом случае [см. (7)]
$\frac{1}{4} < \cos^{2} \frac{ \theta}{2} \leq \frac{1}{2}, \frac{1}{2} < \cos \frac{ \theta}{2} \leq \frac{ \sqrt{2}}{2}$.
Следовательно, угол, образованный вектором скорости любого из тел после удара и вектором $\vec{v}$, удовлетворяет условию
$\frac{ \pi}{3} > \frac{ \theta}{2} \geq \frac{ \pi}{4}$.
Если тело $m_{1}$ обладает массой большей, чем $m_{2}$, то $n \geq 1$ и
$\cos^{2} \frac{ \theta}{2} \geq \frac{1}{2}, \frac{ \theta}{2} \leq \frac{ \pi}{4}$.
Кроме того, из выражения (7) очевидно, что наибольшее значение $n$, при котором возможен симметричный разлет тел, $n_{макс} = 3$. При этом $\cos^{2} ( \theta /2) = 1, \theta /2 = 0$, т. е. оба тела после удара движутся по направлению вектора $\vec{v}$ — удар прямой:
при $\theta = \pi /3 ( \theta /2 = \pi /6) n = 2$;
при $\theta = \pi /2 ( \theta /2 = \pi /4) n = 1$.
Следует заметить, что после абсолютно упругого косого удара двух тел одинаковой массы, одно из которых до удара покоилось, они всегда разлетаются под углом $\theta = \pi /2$ друг к другу.
