Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 3478
2017-05-21 
Снаряд, летевший на высоте $H = 40 м$ горизонтально со скоростью $v = 100 м/с$, разрывается на две равные части. Одна часть снаряда спустя время $t = 1 с$ падает на Землю точно под местом взрыва. Определить скорость другой части снаряда сразу после взрыва.
Решение:
Скорость каждой части снаряда изменяется вследствие взрыва, т. е. под действием сил давления газов, образующихся при взрыве. Направление этих сил, закон изменения их со временем и время действия неизвестны. Однако, если обе части снаряда рассматривать как систему тел, эти силы станут силами внутренними, а поэтому не будут изменять импульс системы. Силы, возникающие при взрыве, настолько велики, что по сравнению с ними действием всех других сил (тяжести, сопротивления воздуха) на каждую часть снаряда можно пренебречь. В этом случае систему можно считать замкнутой в течение времени взрыва. Следовательно, вектор импульса системы во время взрыва постоянен:
$\vec{p}_{I} = \vec{p}_{II}$. (1)
До взрыва импульс системы $\vec{p}_{1} = 2m \vec{v}$ ($m$ - масса одной части снаряда) направлен горизонтально. После взрыва им-пулвс системы равен векторной сумме импульсов обеих частей снаряда: $\vec{p}_{II} = m \vec{u}_{1} + m \vec{u}_{2}$ ($\vec{u}_{1}$ и $\vec{u}_{2}$ — скорости соответственно первой и второй частей снаряда сразу после взрыва). Один из векторов — $\vec{u}_{1}$ — направлен, как следует из условия, вертикально (либо равен нулю). Модуль и направление скорости $\vec{u}_{1}$ могут быть найдены из закона движения этой части снаряда после взрыва. Тогда скорость $\vec{u}_{2}$ можно найти из закона сохранения импульса (1).
Чтобы от векторного уравнения (1) перейти к скалярным соотношениям, введем оси координат (рис.). В проекции на оси ОХ и OY
$p_{Ix} = 2mv, p_{IIx} = mu_{2} \cos \alpha$, (2)
$p_{Iy} = 0, p_{IIy} = mu_{1y} - mu_{2} \sin \alpha$. (3)
Заменим векторное равенство (1) двумя скалярными:
$p_{Ix} = p_{IIx}, p_{Iy} = p_{IIy}$.
Тогда, учитывая выражения (2) и (3), получаем:
$2mv = mu_{2} \cos \alpha, 0 = mu_{1y} - mu_{2} \sin \alpha$.
Эти уравнения образуют систему, решая которую находим
$u_{2} = \sqrt{4v^{2} + u_{1}^{2}}, \alpha = arctg \frac{u_{1y}}{2v}$. (4)
Движение первой части снаряда после взрыва — падение с начальной скоростью $u_{0y} = u_{2y}$. Поэтому, если пренебречь сопротивлением воздуха,
$H = u_{1y}t + gt^{2}/2$,
откуда
$u_{1y} = H/t - gt/2 = 35 м/с$.
Тогда [см. (4)] скорость второй части снаряда $u_{2} = 203 м/с$; вектор скорости $\vec{u}_{2}$ направлен к горизонту под углом
$\alpha = arctg 0,17 = 10^{ \circ}$.
Снаряд, летевший на высоте $H = 40 м$ горизонтально со скоростью $v = 100 м/с$, разрывается на две равные части. Одна часть снаряда спустя время $t = 1 с$ падает на Землю точно под местом взрыва. Определить скорость другой части снаряда сразу после взрыва.
Решение:
Скорость каждой части снаряда изменяется вследствие взрыва, т. е. под действием сил давления газов, образующихся при взрыве. Направление этих сил, закон изменения их со временем и время действия неизвестны. Однако, если обе части снаряда рассматривать как систему тел, эти силы станут силами внутренними, а поэтому не будут изменять импульс системы. Силы, возникающие при взрыве, настолько велики, что по сравнению с ними действием всех других сил (тяжести, сопротивления воздуха) на каждую часть снаряда можно пренебречь. В этом случае систему можно считать замкнутой в течение времени взрыва. Следовательно, вектор импульса системы во время взрыва постоянен:
$\vec{p}_{I} = \vec{p}_{II}$. (1)
До взрыва импульс системы $\vec{p}_{1} = 2m \vec{v}$ ($m$ - масса одной части снаряда) направлен горизонтально. После взрыва им-пулвс системы равен векторной сумме импульсов обеих частей снаряда: $\vec{p}_{II} = m \vec{u}_{1} + m \vec{u}_{2}$ ($\vec{u}_{1}$ и $\vec{u}_{2}$ — скорости соответственно первой и второй частей снаряда сразу после взрыва). Один из векторов — $\vec{u}_{1}$ — направлен, как следует из условия, вертикально (либо равен нулю). Модуль и направление скорости $\vec{u}_{1}$ могут быть найдены из закона движения этой части снаряда после взрыва. Тогда скорость $\vec{u}_{2}$ можно найти из закона сохранения импульса (1).
Чтобы от векторного уравнения (1) перейти к скалярным соотношениям, введем оси координат (рис.). В проекции на оси ОХ и OY
$p_{Ix} = 2mv, p_{IIx} = mu_{2} \cos \alpha$, (2)
$p_{Iy} = 0, p_{IIy} = mu_{1y} - mu_{2} \sin \alpha$. (3)
Заменим векторное равенство (1) двумя скалярными:
$p_{Ix} = p_{IIx}, p_{Iy} = p_{IIy}$.
Тогда, учитывая выражения (2) и (3), получаем:
$2mv = mu_{2} \cos \alpha, 0 = mu_{1y} - mu_{2} \sin \alpha$.
Эти уравнения образуют систему, решая которую находим
$u_{2} = \sqrt{4v^{2} + u_{1}^{2}}, \alpha = arctg \frac{u_{1y}}{2v}$. (4)
Движение первой части снаряда после взрыва — падение с начальной скоростью $u_{0y} = u_{2y}$. Поэтому, если пренебречь сопротивлением воздуха,
$H = u_{1y}t + gt^{2}/2$,
откуда
$u_{1y} = H/t - gt/2 = 35 м/с$.
Тогда [см. (4)] скорость второй части снаряда $u_{2} = 203 м/с$; вектор скорости $\vec{u}_{2}$ направлен к горизонту под углом
$\alpha = arctg 0,17 = 10^{ \circ}$.
