Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 3477
2017-05-21 
Над горизонтальным столом, касаясь его нижним концом, висит вертикально тонкий однородный шнур массы $m_{0}$, длины $l_{0}$ (рис.). Верхний конец шнура освобождают. Найти силу давления шнура на стол в процессе падения как функцию длины уже лежащей на столе части шнура и как функцию времени.
Решение:
Если бы не было стола, то шнур после освобождения его верхнего конца двигался бы в состоянии невесомости (при отсутствии сил сопротивления воздуха). Это значит, что в любой момент все элементы шнура обладали бы одинаковыми скоростями и ускорениями $\vec{a}_{i} = \vec{g}$ и никаких деформаций и сил натяжения не возникало бы. Если предположить, что шнур мягкий, то при падении его нижней части на стол обусловленная этим деформация не вызовет появления сил натяжения в шнуре, и свободная часть шнура будет двигаться так же, как если бы не было стола.
В процессе падения шнура длина $l$ лежащей на столе части непрерывно возрастает, при этом каждый элемент $dl$, приходящий в соприкосновение со столом, полностью теряет скорость, которую он приобрел во время свободного падения (удар такого элемента о стол надо считать абсолютно неупругим). По изменению импульса этого элемента можно определить силу действия стола на него и, следовательно, силу $\vec{f}$, с которой данный элемент давит на стол. Полная сила давления $\vec{F}$ шнура на стол в процессе падения складывается из силы $\vec{f}$ и силы тяжести $m \vec{g}$ лежащей на столе части шнура:
$\vec{F} = \vec{f} + m \vec{g}$. (1)
Для определения силы $\vec{f}$ необходимо найти импульс, приобретаемый элементом $dl$ к моменту его соприкосновения со столом.
Для описания движения любого элемента шнура введем ось ОY, поместив начало координат в точку подвеса шнура.
Рассмотрим, что происходит за некоторый произвольный промежуток времени $dt$. На рисунке показаны положения шнура в момент $t(I)$ и в момент $t + dt (II)$. За это время верхний конец шнура смещается вниз на расстояние $dy$, причем к моменту времени $t$ скорость любой точки шнура
$v = gt = \sqrt{2gy}$, (2)
где $y$ — расстояние, пройденное за время $t$ как верхним концом шнура, так и любым другим элементом, в том числе и элементом $dl = dy$, который за время $dt$ ударился о стол. Очевидно, что сила, действующая на элемент $dl$ со стороны стола,
$\vec{f}_{1} = d \vec{p} / dt$.
где $d \vec{p}$ — изменение импульса элемента $dl$ за время $dt$. Тогда сила, действующая на стол со стороны элемента $dl$,
$\vec{f} = - \vec{f}_{1} = - d \vec{p} /dt$. (3)
Изменение импульса элемента
$d \vec{p} = - dm \cdot \vec{v}$,
где $dm$ — масса элемента; $\vec{v}$ — скорость, которой он обладал перед ударом, т. е. в момент времени $t$. Знак минус объясняется тем, что конечный импульс элемента $dm$ равен нулю.
Уравнение (3) в скалярном виде (в проекции на ось ОY)
$f_{y} = f - dp_{y}/dt$. (4)
Учитывая, что $dl = dy$, масса элемента
$dm = \gamma dy = (m_{0}/l_{0}) dy$,
где $\gamma$ — линейная плотность шнура, являющаяся вследствие его однородности постоянной величиной.
Таким образом, учитывая (2), определяем изменение проекции импульса за время $dt$:
$dp_{y} = - dm \cdot v = - \gamma \sqrt{2gy} dy$. (5)
Подставим полученное выражение в (4):
$f = \gamma \sqrt{2gy} \frac{dy}{dt}$. (6)
Но $dy/dt$ — это скорость любой точки шнура. Тогда, учитывая еще раз выражение (2), получаем
$f = \gamma \cdot 2gy$.
Здесь, как и раньше, $y$ — расстояние, пройденное верхним концом шнура за время $t$. Поскольку в начальный момент шнур касался поверхности стола, $y = l$ (длина той части шнура, которая лежит на столе к моменту времени $t$) и $\gamma y = \gamma l = m$. Заменяя векторное равенство (1) соотношениями между проекциями всех сил на ось OY и учитывая соотношения (5) и (6), находим
$F = 3mg = 3(m_{0}/l_{0}) gl$.
В любой момент движения, т. е. при $l < l_{0}$, сила давления шнура на стол втрое больше силы тяжести той части шнура, которая к этому моменту времени уже лежит на столе.
Если вновь выразить массу $m$ через длину $l = y$, то получим
$F = 3 \gamma gy$.
Так как любой элемент шнура совершает свободное падение, то $y = gt^{2}/2$. Тогда
$F = 3 \gamma g^{2}t^{2}/2 = 3m_{0} g^{2}t^{2}/(2l_{0})$.
Отсюда видно, что во время падения шнура, т. е. при $t < \sqrt{2l_{0}/g}$, сила давления его на стол растет пропорционально квадрату времени падения.
Над горизонтальным столом, касаясь его нижним концом, висит вертикально тонкий однородный шнур массы $m_{0}$, длины $l_{0}$ (рис.). Верхний конец шнура освобождают. Найти силу давления шнура на стол в процессе падения как функцию длины уже лежащей на столе части шнура и как функцию времени.
Решение:
Если бы не было стола, то шнур после освобождения его верхнего конца двигался бы в состоянии невесомости (при отсутствии сил сопротивления воздуха). Это значит, что в любой момент все элементы шнура обладали бы одинаковыми скоростями и ускорениями $\vec{a}_{i} = \vec{g}$ и никаких деформаций и сил натяжения не возникало бы. Если предположить, что шнур мягкий, то при падении его нижней части на стол обусловленная этим деформация не вызовет появления сил натяжения в шнуре, и свободная часть шнура будет двигаться так же, как если бы не было стола.
В процессе падения шнура длина $l$ лежащей на столе части непрерывно возрастает, при этом каждый элемент $dl$, приходящий в соприкосновение со столом, полностью теряет скорость, которую он приобрел во время свободного падения (удар такого элемента о стол надо считать абсолютно неупругим). По изменению импульса этого элемента можно определить силу действия стола на него и, следовательно, силу $\vec{f}$, с которой данный элемент давит на стол. Полная сила давления $\vec{F}$ шнура на стол в процессе падения складывается из силы $\vec{f}$ и силы тяжести $m \vec{g}$ лежащей на столе части шнура:
$\vec{F} = \vec{f} + m \vec{g}$. (1)
Для определения силы $\vec{f}$ необходимо найти импульс, приобретаемый элементом $dl$ к моменту его соприкосновения со столом.
Для описания движения любого элемента шнура введем ось ОY, поместив начало координат в точку подвеса шнура.
Рассмотрим, что происходит за некоторый произвольный промежуток времени $dt$. На рисунке показаны положения шнура в момент $t(I)$ и в момент $t + dt (II)$. За это время верхний конец шнура смещается вниз на расстояние $dy$, причем к моменту времени $t$ скорость любой точки шнура
$v = gt = \sqrt{2gy}$, (2)
где $y$ — расстояние, пройденное за время $t$ как верхним концом шнура, так и любым другим элементом, в том числе и элементом $dl = dy$, который за время $dt$ ударился о стол. Очевидно, что сила, действующая на элемент $dl$ со стороны стола,
$\vec{f}_{1} = d \vec{p} / dt$.
где $d \vec{p}$ — изменение импульса элемента $dl$ за время $dt$. Тогда сила, действующая на стол со стороны элемента $dl$,
$\vec{f} = - \vec{f}_{1} = - d \vec{p} /dt$. (3)
Изменение импульса элемента
$d \vec{p} = - dm \cdot \vec{v}$,
где $dm$ — масса элемента; $\vec{v}$ — скорость, которой он обладал перед ударом, т. е. в момент времени $t$. Знак минус объясняется тем, что конечный импульс элемента $dm$ равен нулю.
Уравнение (3) в скалярном виде (в проекции на ось ОY)
$f_{y} = f - dp_{y}/dt$. (4)
Учитывая, что $dl = dy$, масса элемента
$dm = \gamma dy = (m_{0}/l_{0}) dy$,
где $\gamma$ — линейная плотность шнура, являющаяся вследствие его однородности постоянной величиной.
Таким образом, учитывая (2), определяем изменение проекции импульса за время $dt$:
$dp_{y} = - dm \cdot v = - \gamma \sqrt{2gy} dy$. (5)
Подставим полученное выражение в (4):
$f = \gamma \sqrt{2gy} \frac{dy}{dt}$. (6)
Но $dy/dt$ — это скорость любой точки шнура. Тогда, учитывая еще раз выражение (2), получаем
$f = \gamma \cdot 2gy$.
Здесь, как и раньше, $y$ — расстояние, пройденное верхним концом шнура за время $t$. Поскольку в начальный момент шнур касался поверхности стола, $y = l$ (длина той части шнура, которая лежит на столе к моменту времени $t$) и $\gamma y = \gamma l = m$. Заменяя векторное равенство (1) соотношениями между проекциями всех сил на ось OY и учитывая соотношения (5) и (6), находим
$F = 3mg = 3(m_{0}/l_{0}) gl$.
В любой момент движения, т. е. при $l < l_{0}$, сила давления шнура на стол втрое больше силы тяжести той части шнура, которая к этому моменту времени уже лежит на столе.
Если вновь выразить массу $m$ через длину $l = y$, то получим
$F = 3 \gamma gy$.
Так как любой элемент шнура совершает свободное падение, то $y = gt^{2}/2$. Тогда
$F = 3 \gamma g^{2}t^{2}/2 = 3m_{0} g^{2}t^{2}/(2l_{0})$.
Отсюда видно, что во время падения шнура, т. е. при $t < \sqrt{2l_{0}/g}$, сила давления его на стол растет пропорционально квадрату времени падения.
