Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 3476
2017-05-21 
Замкнутая однородная цепочка массы $m = 0,4 кг$, надетая вплотную на гладкий круговой конус с углом полураствора $\theta = 20^{ \circ}$, вращается вокруг оси конуса с угловой скоростью $\omega = 10 с^{-1}$ (рис.). При этом цепочка образует окружность, радиус которой $r = 10 см$. Найти силу натяжения цепочки.
Решение:
По условию задачи требуется найти силу натяжения цепочки, т. е. силу, с которой один элемент цепочки действует на другой, поэтому следует рассмотреть движение какого-либо элемента длины $\Delta l$, массы $\Delta m$. Такой элемент движется в горизонтальной плоскости по окружности радиуса $r$ с постоянной по модулю скоростью. На каждый такой элемент, кроме силы тяжести $\Delta m \vec{g}$ и силы нормальной реакции $\Delta \vec{N}$ со стороны конуса (рис. а), действуют силы натяжения $\vec{T}_{1}$ и $\vec{T}_{2}$ (рис. б) со стороны элементов, соседних с данным. Силы эти направлены по касательным к окружности, образуемой цепочкой, в точках, где расположены концы элемента $\Delta l$.
По условию, силы трения отсутствуют. Уравнение второго закона Ньютона для элемента $\Delta l$ имеет вид
$\Delta m \vec{a} = \vec{T}_{1} + \vec{T}_{2} + \Delta \vec{N} + \Delta m \vec{g}$.
Вследствие полной симметрии все элементы, составляющие цепочку, находятся в совершенно одинаковых условиях, поэтому можно считать, что $T_{1} = T_{2}$.
Если выбрать оси координат, как показано на рисунке, то
$a_{x} = 0, a_{y} = a_{n} = \omega^{2}r, a_{z} = a_{t} = 0$.
В проекции на ось ОХ
$0 = \Delta N \sin \theta - \Delta m g$. (1)
(Силы натяжения $\vec{T}_{1}$ и $\vec{T}_{1}$ лежат в горизонтальной плоскости и проекций на ось X не дают.) В проекции на ось OY
$\Delta m \omega^{2} r = T_{1} \sin \frac{ \Delta \alpha}{2} + T_{2} \sin \frac{ \Delta \alpha}{2} - \Delta N \cos \theta$, (2)
где $\Delta \alpha$ — центральный угол, соответствующий элементу дуги $\Delta l$. Очевидно, что $\Delta l = r \Delta \alpha$.
Проекции на ось OZ рассматривать нецелесообразно, так как $T_{1s} + T_{2s} = 0$; другие силы проекций на ось OZ не дают, $a_{z} = a_{ \tau} = 0$ по условию.
При совместном решении уравнений (1) и (2) с учетом равенства сил натяжения получаем
$\Delta m \omega^{2} r = 2T \sin ( \Delta \alpha/2) - \Delta mg ctg \theta$.
Однородность цепочки позволяет найти
$\Delta m = m \Delta l/ (2 \pi r) = m \Delta \alpha /(2 \pi)$.
Так как элемент $\Delta l$ очень мал, то мал и угол $\Delta \alpha$, поэтому $\sin ( \Delta \alpha /2) \approx \Delta \alpha /2$. Тогда
$T = m ( \omega^{2} r + g ctg \theta)/(2 \pi) = 2,3 Н$.
Замкнутая однородная цепочка массы $m = 0,4 кг$, надетая вплотную на гладкий круговой конус с углом полураствора $\theta = 20^{ \circ}$, вращается вокруг оси конуса с угловой скоростью $\omega = 10 с^{-1}$ (рис.). При этом цепочка образует окружность, радиус которой $r = 10 см$. Найти силу натяжения цепочки.
Решение:
По условию задачи требуется найти силу натяжения цепочки, т. е. силу, с которой один элемент цепочки действует на другой, поэтому следует рассмотреть движение какого-либо элемента длины $\Delta l$, массы $\Delta m$. Такой элемент движется в горизонтальной плоскости по окружности радиуса $r$ с постоянной по модулю скоростью. На каждый такой элемент, кроме силы тяжести $\Delta m \vec{g}$ и силы нормальной реакции $\Delta \vec{N}$ со стороны конуса (рис. а), действуют силы натяжения $\vec{T}_{1}$ и $\vec{T}_{2}$ (рис. б) со стороны элементов, соседних с данным. Силы эти направлены по касательным к окружности, образуемой цепочкой, в точках, где расположены концы элемента $\Delta l$.
По условию, силы трения отсутствуют. Уравнение второго закона Ньютона для элемента $\Delta l$ имеет вид
$\Delta m \vec{a} = \vec{T}_{1} + \vec{T}_{2} + \Delta \vec{N} + \Delta m \vec{g}$.
Вследствие полной симметрии все элементы, составляющие цепочку, находятся в совершенно одинаковых условиях, поэтому можно считать, что $T_{1} = T_{2}$.
Если выбрать оси координат, как показано на рисунке, то
$a_{x} = 0, a_{y} = a_{n} = \omega^{2}r, a_{z} = a_{t} = 0$.
В проекции на ось ОХ
$0 = \Delta N \sin \theta - \Delta m g$. (1)
(Силы натяжения $\vec{T}_{1}$ и $\vec{T}_{1}$ лежат в горизонтальной плоскости и проекций на ось X не дают.) В проекции на ось OY
$\Delta m \omega^{2} r = T_{1} \sin \frac{ \Delta \alpha}{2} + T_{2} \sin \frac{ \Delta \alpha}{2} - \Delta N \cos \theta$, (2)
где $\Delta \alpha$ — центральный угол, соответствующий элементу дуги $\Delta l$. Очевидно, что $\Delta l = r \Delta \alpha$.
Проекции на ось OZ рассматривать нецелесообразно, так как $T_{1s} + T_{2s} = 0$; другие силы проекций на ось OZ не дают, $a_{z} = a_{ \tau} = 0$ по условию.
При совместном решении уравнений (1) и (2) с учетом равенства сил натяжения получаем
$\Delta m \omega^{2} r = 2T \sin ( \Delta \alpha/2) - \Delta mg ctg \theta$.
Однородность цепочки позволяет найти
$\Delta m = m \Delta l/ (2 \pi r) = m \Delta \alpha /(2 \pi)$.
Так как элемент $\Delta l$ очень мал, то мал и угол $\Delta \alpha$, поэтому $\sin ( \Delta \alpha /2) \approx \Delta \alpha /2$. Тогда
$T = m ( \omega^{2} r + g ctg \theta)/(2 \pi) = 2,3 Н$.
