Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 3473
2017-05-21 
На тележке массы $m_{1} = 20 кг$, которая может свободно перемещаться вдоль горизонтальных рельсов, лежит брусок массы $m_{2} = 5 кг$ (рис.). Коэффициент трения между бруском и тележкой $k = 0,2$. Брусок тянут с силой $\vec{F}$, направленной параллельно рельсам. Найти ускорение бруска и тележки, если сила изменяется по закону $F = ct$, где $c = 4,0 Н/с$. Построить графики зависимости найденных ускорений от времени.
Решение:
В задаче рассматривается поступательное движение двух соприкасающихся тел, между которыми, по условию, действует сила трения. Наличие ее позволяет предполагать, что при некоторых значениях приложенной силы $F$ брусок и тележка движутся вместе с одинаковым ускорением, а при больших значениях силы $F$ брусок начнет обгонять тележку, будет скользить по ней. Если относительная скорость $v^{ \prime}$ бруска (скорость бруска относительно тележки) равна нулю, то сила трения будет силой трения покоя и может принимать любое значение от 0 до $f_{тр.макс} = kN$, т. е. $f_{тр} \leq kN$, где $N$ — сила нормальной реакции при действии одного тела на другое. Если $v^{ \prime} \neq 0$, то сила трения будет силой трения скольжения $f_{тр} = kN^{-1}$.
Сила трения всегда направлена в сторону, противоположную относительной скорости (либо в сторону, противоположную относительной скорости, которая появилась бы при отсутствии трения). Поэтому силы трения, действующие на тележку и брусок, направлены так, как показано на рис., причем $f_{тр}^{ \prime} = f_{тр}$. Помимо силы трения на тележку действуют сила тяжести, сила нормального давления бруска и сила нормальной реакции рельсов. (Сила трения между тележкой и рельсами, по условию, отсутствует.) Все эти три силы вертикальны и взаимно компенсируют друг друга. На брусок действуют также вертикальные силы тяжести $m_{2} \vec{g}$ и нормальной реакции тележки $\vec{N}_{2} = - m_{2} \vec{g}$ и горизонтальные силы $\vec{F}$ и $\vec{f}_{тр}$.
Поскольку начальные скорости отсутствуют, то характер сил трения определяется соотношением между ускорениями обоих тел:
$f_{тр} \leq kN_{2}$, если $\vec{a}_{1} = \vec{a}_{2}$, $v^{ \prime} = 0$,
$f_{тр} = kN_{2}$, если $\vec{a}_{1} \neq \vec{a}_{2}$, $v^{ \prime} \neq 0$,
причем $\vec{a}_{1}$ и $\vec{a}_{2}$ — это ускорения тележки и бруска относительно Земли. Оба эти вектора сонаправлены с силой $\vec{F}$: ускорение тележки возникает , под действием одной силы трения $\vec{f}_{тр}^{ \prime}$, направленной так же, как и сила $\vec{F}$ ускорение бруска не может быть направлено в другую сторону, так как сила трения не изменяет направления движения на противоположное. Ускорения эти найдем из уравнения второго закона Ньютона, записанного для каждого тела.
Поскольку вертикальные силы, действующие на каждое из тел, скомпенсированы, то уравнения движения для каждого из тел сразу запишем в скалярной форме (для проекций на ось X):
$\begin{cases} m_{1}a_{1} = f_{тр}^{ \prime}, \\ m_{2}a_{2} = F - f_{тр} \end{cases}.$
Найдем из системы уравнений (1) значения $F$, при которых $a_{1} = a_{2} = a$:
$F = f_{тр} \frac{m_{1} + m_{2}}{m_{1}}$.
В этом случае $v^{ \prime} = 0$ и $f_{тр} \leq kN_{2} = km_{2}g$. Тогда
$F = ct \leq km_{2}g (m_{1} + m_{2})/m_{1}$.
Следовательно, при $t < t^{*} = km_{2}g \times (m_{1} + m_{2})/(cm_{1}) = 3,1 с$ ускорения обоих тел одинаковы, сила трения (трения покоя) заранее не известна. Решив систему (1) относительно $a$, получим
$a = ct/(m_{1} + m_{2})$. (2)
Ускорения обоих тел прямо пропорциональны времени и изменяются от 0 до $a = ct^{*}/(m_{1} + m_{2}) = 0,5 м/с^{2}$.
При $t > t^{*}$ ускорения тел различны, но сила трения имеет определенное значение: $f_{тр} = km_{2}g$. Тогда [см. (1)]
$m_{1}a_{1} = km_{2}g, m_{2}a_{2} = ct - km_{2}g$,
откуда
$a_{1} = \frac{kgm_{2}}{m_{1}} = 0,5 м/с^{2}; a_{2} = \frac{ct}{m_{2}} - kg$. (3)
Ускорение $a_{2}$ бруска растет линейно со временем начиная от значения
$a_{2} = \frac{ct^{*}}{m_{2}} - kg = a_{1} = 0,5 м/с^{2}$.
График зависимости ускорений от времени можно построить на основании выражений (2),(3). При $t < t^{*}$ график представляет собой прямую, выходящую из начала координат. При $t > t^{*}$ график $a_{1}(t)$ — прямая, параллельная оси абсцисс, график $a_{2}(t)$ — прямая, идущая вверх более круто (рис.).
На тележке массы $m_{1} = 20 кг$, которая может свободно перемещаться вдоль горизонтальных рельсов, лежит брусок массы $m_{2} = 5 кг$ (рис.). Коэффициент трения между бруском и тележкой $k = 0,2$. Брусок тянут с силой $\vec{F}$, направленной параллельно рельсам. Найти ускорение бруска и тележки, если сила изменяется по закону $F = ct$, где $c = 4,0 Н/с$. Построить графики зависимости найденных ускорений от времени.
Решение:
В задаче рассматривается поступательное движение двух соприкасающихся тел, между которыми, по условию, действует сила трения. Наличие ее позволяет предполагать, что при некоторых значениях приложенной силы $F$ брусок и тележка движутся вместе с одинаковым ускорением, а при больших значениях силы $F$ брусок начнет обгонять тележку, будет скользить по ней. Если относительная скорость $v^{ \prime}$ бруска (скорость бруска относительно тележки) равна нулю, то сила трения будет силой трения покоя и может принимать любое значение от 0 до $f_{тр.макс} = kN$, т. е. $f_{тр} \leq kN$, где $N$ — сила нормальной реакции при действии одного тела на другое. Если $v^{ \prime} \neq 0$, то сила трения будет силой трения скольжения $f_{тр} = kN^{-1}$.
Сила трения всегда направлена в сторону, противоположную относительной скорости (либо в сторону, противоположную относительной скорости, которая появилась бы при отсутствии трения). Поэтому силы трения, действующие на тележку и брусок, направлены так, как показано на рис., причем $f_{тр}^{ \prime} = f_{тр}$. Помимо силы трения на тележку действуют сила тяжести, сила нормального давления бруска и сила нормальной реакции рельсов. (Сила трения между тележкой и рельсами, по условию, отсутствует.) Все эти три силы вертикальны и взаимно компенсируют друг друга. На брусок действуют также вертикальные силы тяжести $m_{2} \vec{g}$ и нормальной реакции тележки $\vec{N}_{2} = - m_{2} \vec{g}$ и горизонтальные силы $\vec{F}$ и $\vec{f}_{тр}$.
Поскольку начальные скорости отсутствуют, то характер сил трения определяется соотношением между ускорениями обоих тел:
$f_{тр} \leq kN_{2}$, если $\vec{a}_{1} = \vec{a}_{2}$, $v^{ \prime} = 0$,
$f_{тр} = kN_{2}$, если $\vec{a}_{1} \neq \vec{a}_{2}$, $v^{ \prime} \neq 0$,
причем $\vec{a}_{1}$ и $\vec{a}_{2}$ — это ускорения тележки и бруска относительно Земли. Оба эти вектора сонаправлены с силой $\vec{F}$: ускорение тележки возникает , под действием одной силы трения $\vec{f}_{тр}^{ \prime}$, направленной так же, как и сила $\vec{F}$ ускорение бруска не может быть направлено в другую сторону, так как сила трения не изменяет направления движения на противоположное. Ускорения эти найдем из уравнения второго закона Ньютона, записанного для каждого тела.
Поскольку вертикальные силы, действующие на каждое из тел, скомпенсированы, то уравнения движения для каждого из тел сразу запишем в скалярной форме (для проекций на ось X):
$\begin{cases} m_{1}a_{1} = f_{тр}^{ \prime}, \\ m_{2}a_{2} = F - f_{тр} \end{cases}.$
Найдем из системы уравнений (1) значения $F$, при которых $a_{1} = a_{2} = a$:
$F = f_{тр} \frac{m_{1} + m_{2}}{m_{1}}$.
В этом случае $v^{ \prime} = 0$ и $f_{тр} \leq kN_{2} = km_{2}g$. Тогда
$F = ct \leq km_{2}g (m_{1} + m_{2})/m_{1}$.
Следовательно, при $t < t^{*} = km_{2}g \times (m_{1} + m_{2})/(cm_{1}) = 3,1 с$ ускорения обоих тел одинаковы, сила трения (трения покоя) заранее не известна. Решив систему (1) относительно $a$, получим
$a = ct/(m_{1} + m_{2})$. (2)
Ускорения обоих тел прямо пропорциональны времени и изменяются от 0 до $a = ct^{*}/(m_{1} + m_{2}) = 0,5 м/с^{2}$.
При $t > t^{*}$ ускорения тел различны, но сила трения имеет определенное значение: $f_{тр} = km_{2}g$. Тогда [см. (1)]
$m_{1}a_{1} = km_{2}g, m_{2}a_{2} = ct - km_{2}g$,
откуда
$a_{1} = \frac{kgm_{2}}{m_{1}} = 0,5 м/с^{2}; a_{2} = \frac{ct}{m_{2}} - kg$. (3)
Ускорение $a_{2}$ бруска растет линейно со временем начиная от значения
$a_{2} = \frac{ct^{*}}{m_{2}} - kg = a_{1} = 0,5 м/с^{2}$.
График зависимости ускорений от времени можно построить на основании выражений (2),(3). При $t < t^{*}$ график представляет собой прямую, выходящую из начала координат. При $t > t^{*}$ график $a_{1}(t)$ — прямая, параллельная оси абсцисс, график $a_{2}(t)$ — прямая, идущая вверх более круто (рис.).
