Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 3470
2017-05-21 
Материальная точка начинает двигаться по окружности радиуса $r = 10 см$ с постоянным касательным ускорением $a_{ \tau} = 0,4 см/с^{2}$. Через какой промежуток времени вектор ускорения а образует с вектором скорости $\vec{v}$ угол $\beta$, равный: а) $60^{ \circ}$; б) $80^{ \circ}$ (рис.)? Какой путь пройдет за это время движущаяся точка? На какой угол повернется радиус-вектор, проведенный из центра окружности к движущейся точке, если в начальный момент времени он направлен вертикально вверх? Движение происходит по часовой стрелке.
Решение:
Материальная точка движется по окружности заданного радиуса. Поскольку движение ускоренное, скорость $v$ движущейся точки, а следовательно, и нормальное ускорение $a_{n} = v^{2}/r$ непрерывно возрастают со временем. Касательное ускорение, по условию задачи, постоянно. Следовательно, вектор полного ускорения а со временем изменяется как по модулю, так и по направлению.
Угол $\beta$ между векторами $\vec{a}$ и $\vec{v}$ зависит от соотношения между нормальным $a_{n}$ и касательным $a_{ \tau}$ ускорениями:
$tg \beta = a_{n} / a_{ \tau} = v^{2}/(ra_{ \tau})$. (1)
Постоянство касательного ускорения позволяет найти закон изменения со временем пути $s$, пройденного точкой, или угла поворота $\phi$ радиус-вектора (см. рис.).
Касательное ускорение
$a_{ \tau} = dv/dt = const$.
Следовательно, мгновенная скорость движущейся точки (при $v_{0} = 0$)
$v = a_{ \tau} t$.
Подставляя это выражение в формулу (1), находим
$tg \beta = (a_{ \tau} t)^{2} / (a_{ \tau} t) = a_{ \tau}t^{2}/r$.
Тогда время и путь соответственно равны:
$t = \sqrt{ \frac{r tg \beta}{ a_{ \tau}}}$, (2)
$s = \int_{0}^{t} vdt = \int_{0}^{t} a_{ \tau} t dt = \frac{a_{ \tau}t^{2}}{2}$. (3)
Угол поворота $\phi = s/r$ изменяется со временем также по квадратичному закону:
$\phi = a_{ \tau} t^{2} /(2r)$. (4)
а) При $\beta_{1} = 60^{ \circ}$ ($tg \beta_{1} = 1,73$), согласно выражениям (2) - (4), $t_{1} = 6,6 с; s_{1} = 8,7 см; \phi_{1} = 0,87 рад$.
б) При $\beta_{2} = 80^{ \circ}$ ($tg \beta_{2} = 5,7$), согласно выражениям (2) - (4), $t_{2} = 12 с; s_{2} = 28 см; \phi_{2} = 2,8 рад$.
Положения движущейся точки для найденных углов $\phi_{1}$ и $\phi_{2}$ и векторы $\vec{v}$ и $\vec{a}$ в эти моменты времени показаны на рис.
Материальная точка начинает двигаться по окружности радиуса $r = 10 см$ с постоянным касательным ускорением $a_{ \tau} = 0,4 см/с^{2}$. Через какой промежуток времени вектор ускорения а образует с вектором скорости $\vec{v}$ угол $\beta$, равный: а) $60^{ \circ}$; б) $80^{ \circ}$ (рис.)? Какой путь пройдет за это время движущаяся точка? На какой угол повернется радиус-вектор, проведенный из центра окружности к движущейся точке, если в начальный момент времени он направлен вертикально вверх? Движение происходит по часовой стрелке.
Решение:
Материальная точка движется по окружности заданного радиуса. Поскольку движение ускоренное, скорость $v$ движущейся точки, а следовательно, и нормальное ускорение $a_{n} = v^{2}/r$ непрерывно возрастают со временем. Касательное ускорение, по условию задачи, постоянно. Следовательно, вектор полного ускорения а со временем изменяется как по модулю, так и по направлению.
Угол $\beta$ между векторами $\vec{a}$ и $\vec{v}$ зависит от соотношения между нормальным $a_{n}$ и касательным $a_{ \tau}$ ускорениями:
$tg \beta = a_{n} / a_{ \tau} = v^{2}/(ra_{ \tau})$. (1)
Постоянство касательного ускорения позволяет найти закон изменения со временем пути $s$, пройденного точкой, или угла поворота $\phi$ радиус-вектора (см. рис.).
Касательное ускорение
$a_{ \tau} = dv/dt = const$.
Следовательно, мгновенная скорость движущейся точки (при $v_{0} = 0$)
$v = a_{ \tau} t$.
Подставляя это выражение в формулу (1), находим
$tg \beta = (a_{ \tau} t)^{2} / (a_{ \tau} t) = a_{ \tau}t^{2}/r$.
Тогда время и путь соответственно равны:
$t = \sqrt{ \frac{r tg \beta}{ a_{ \tau}}}$, (2)
$s = \int_{0}^{t} vdt = \int_{0}^{t} a_{ \tau} t dt = \frac{a_{ \tau}t^{2}}{2}$. (3)
Угол поворота $\phi = s/r$ изменяется со временем также по квадратичному закону:
$\phi = a_{ \tau} t^{2} /(2r)$. (4)
а) При $\beta_{1} = 60^{ \circ}$ ($tg \beta_{1} = 1,73$), согласно выражениям (2) - (4), $t_{1} = 6,6 с; s_{1} = 8,7 см; \phi_{1} = 0,87 рад$.
б) При $\beta_{2} = 80^{ \circ}$ ($tg \beta_{2} = 5,7$), согласно выражениям (2) - (4), $t_{2} = 12 с; s_{2} = 28 см; \phi_{2} = 2,8 рад$.
Положения движущейся точки для найденных углов $\phi_{1}$ и $\phi_{2}$ и векторы $\vec{v}$ и $\vec{a}$ в эти моменты времени показаны на рис.
