Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 3469
2017-05-21 
Камень, брошенный с высоты $h = 2,1 м$ под углом $\alpha = 45^{ \circ}$ к горизонту, падает на землю на расстоянии $s = 42 м$ (по горизонтали) от места бросания (рис.). Найти начальную скорость камня, время полета и максимальную высоту подъема над уровнем земли. Определить также радиусы кривизны траектории в верхней точке и в точке падения камня на землю.
Решение:
Из условия задачи известно направление вектора начальной скорости $v_{0}$ камня, который можно рассматривать как материальную точку.
Если пренебречь сопротивлением воздуха, то $\vec{a} = \vec{g}$, т. е. ускорение постоянно, направлено по вертикали вниз и равно $9,8 м/с^{2}$.
Векторы начальной скорости и ускорения образуют некоторый угол, не равный ни 0, ни $\pi$, поэтому движение криволинейное. Поскольку $a = const$, движение плоское и для описания его достаточно двух осей координат, что позволит сложное криволинейное движение камня рассматривать как совокупность двух прямолинейных движений. Если ось ОХ направить по горизонтали, а ось ОY — по вертикали, то движение вдоль оси ОХ равномерное, так как проекция ускорения $a_{x} = 0$, а движение вдоль оси ОY — равнопеременное ($a_{y} = - g$). Для нахождения закона движения необходимо знать, как было указано ранее, начальные условия, т. е. координаты и скорость в начальный момент времени. Числовое значение начальной скорости неизвестно, однако закон движения, включающий неизвестную начальную скорость, может быть записан. Координаты точки падения можно найти из условия. Подставив их в закон движения, получим систему уравнений, содержащую в качестве неизвестных начальную скорость и время полета.
Максимальную высоту найдем из условия, что в верхней точке траектории вертикальная составляющая скорости обращается в нуль.
Зная законы изменения проекций $v_{x}$ и $v_{y}$ со временем, можно найти модуль и направление скорости для любого момента времени. Вектор ускорения постоянен и известен ($\vec{a} = \vec{g}$), следовательно, для любого момента времени можно определить нормальное ускорение (проекцию вектора а на ось п, перпендикулярную вектору скорости и направленную к центру кривизны траектории) и радиус кривизны траектории.
Начало отсчета удобно выбрать в точке бросания ($x_{0} = y_{0} = 0$). В системе координат XOY (см. рис.)
$a_{x} = 0, v_{x} = const = v_{0} \cos \alpha, x = v_{0} \cos \alpha \cdot t$; (1)
$a_{y} = - g, v_{y} = v_{0} \sin \alpha - gt, y = v_{0} \sin \alpha \cdot t - gt^{2}/2$. (2)
Закон движения записан, хотя значение $v_{0}$ неизвестно. При $t = \tau$ в конечной точке траектории $x = s; y = - h$. Тогда уравнения (1) и (2) примут вид
$s = v_{0} \cos \alpha \cdot \tau, - h = v_{0} \sin \alpha \cdot \tau - g \tau^{2}/2$.
Данные уравнения составляют систему с двумя неизвестными $v_{0}$ и $\tau$. Решение этой системы:
$\tau = \sqrt{2(h + s tg \alpha)/g} = 3 с; v_{0} = s/( \tau \cos \alpha) = 20 м/с$.
Найдем максимальную высоту подъема камня над землей:
$H = h + y_{M}$.
При $y = y_{M}$ имеем $v_{y} = 0, t = t_{1}$. Подставив в уравнения (2) $v_{y} = 0$, найдем время подъема $t_{1} = (v_{0}/g) \sin \alpha$. Тогда
$y_{max} = v_{0}^{2} \sin^{2} \alpha/(2g), H = h + v_{0}^{2} \sin^{2} \alpha / (2g) = 12 м$.
В верхней точке траектории $v_{y} = 0$, поэтому $v_{M} = v_{x}$. Следовательно, $\vec{a} \perp \vec{v}_{M}$. Это значит, что $a_{n} = a = g$. Зная нормальное ускорение и скорость, найдем радиус кривизны траектории в точке М:
$r_{M} = v_{M}^{2}/a_{n} = (v_{0}^{2} / g) \cos^{2} \alpha = 20 м$.
В точке В (рис.) скорость
$v_{B} = \sqrt{v_{x}^{2} + v_{y}^{2}} = \sqrt{v_{0}^{2} \cos^{2} \alpha + (v_{0} \sin \alpha - g \tau)^{2}} = 20,8 м/с$. (3)
Нормальное ускорение
$a_{n} = v_{B}^{2} / r_{B} = g \sin \beta$.
Здесь $\sin \beta = v_{x}/v_{B} = v_{0} \cos \alpha / v_{B}$, где $\beta$ — угол между векторами ускорения и скорости. Тогда радиус кривизны траектории в точке В
$r_{B} = v_{B}^{2} /(gv_{0} \cos \alpha ) = 67 м$.
Камень, брошенный с высоты $h = 2,1 м$ под углом $\alpha = 45^{ \circ}$ к горизонту, падает на землю на расстоянии $s = 42 м$ (по горизонтали) от места бросания (рис.). Найти начальную скорость камня, время полета и максимальную высоту подъема над уровнем земли. Определить также радиусы кривизны траектории в верхней точке и в точке падения камня на землю.
Решение:
Из условия задачи известно направление вектора начальной скорости $v_{0}$ камня, который можно рассматривать как материальную точку.
Если пренебречь сопротивлением воздуха, то $\vec{a} = \vec{g}$, т. е. ускорение постоянно, направлено по вертикали вниз и равно $9,8 м/с^{2}$.
Векторы начальной скорости и ускорения образуют некоторый угол, не равный ни 0, ни $\pi$, поэтому движение криволинейное. Поскольку $a = const$, движение плоское и для описания его достаточно двух осей координат, что позволит сложное криволинейное движение камня рассматривать как совокупность двух прямолинейных движений. Если ось ОХ направить по горизонтали, а ось ОY — по вертикали, то движение вдоль оси ОХ равномерное, так как проекция ускорения $a_{x} = 0$, а движение вдоль оси ОY — равнопеременное ($a_{y} = - g$). Для нахождения закона движения необходимо знать, как было указано ранее, начальные условия, т. е. координаты и скорость в начальный момент времени. Числовое значение начальной скорости неизвестно, однако закон движения, включающий неизвестную начальную скорость, может быть записан. Координаты точки падения можно найти из условия. Подставив их в закон движения, получим систему уравнений, содержащую в качестве неизвестных начальную скорость и время полета.
Максимальную высоту найдем из условия, что в верхней точке траектории вертикальная составляющая скорости обращается в нуль.
Зная законы изменения проекций $v_{x}$ и $v_{y}$ со временем, можно найти модуль и направление скорости для любого момента времени. Вектор ускорения постоянен и известен ($\vec{a} = \vec{g}$), следовательно, для любого момента времени можно определить нормальное ускорение (проекцию вектора а на ось п, перпендикулярную вектору скорости и направленную к центру кривизны траектории) и радиус кривизны траектории.
Начало отсчета удобно выбрать в точке бросания ($x_{0} = y_{0} = 0$). В системе координат XOY (см. рис.)
$a_{x} = 0, v_{x} = const = v_{0} \cos \alpha, x = v_{0} \cos \alpha \cdot t$; (1)
$a_{y} = - g, v_{y} = v_{0} \sin \alpha - gt, y = v_{0} \sin \alpha \cdot t - gt^{2}/2$. (2)
Закон движения записан, хотя значение $v_{0}$ неизвестно. При $t = \tau$ в конечной точке траектории $x = s; y = - h$. Тогда уравнения (1) и (2) примут вид
$s = v_{0} \cos \alpha \cdot \tau, - h = v_{0} \sin \alpha \cdot \tau - g \tau^{2}/2$.
Данные уравнения составляют систему с двумя неизвестными $v_{0}$ и $\tau$. Решение этой системы:
$\tau = \sqrt{2(h + s tg \alpha)/g} = 3 с; v_{0} = s/( \tau \cos \alpha) = 20 м/с$.
Найдем максимальную высоту подъема камня над землей:
$H = h + y_{M}$.
При $y = y_{M}$ имеем $v_{y} = 0, t = t_{1}$. Подставив в уравнения (2) $v_{y} = 0$, найдем время подъема $t_{1} = (v_{0}/g) \sin \alpha$. Тогда
$y_{max} = v_{0}^{2} \sin^{2} \alpha/(2g), H = h + v_{0}^{2} \sin^{2} \alpha / (2g) = 12 м$.
В верхней точке траектории $v_{y} = 0$, поэтому $v_{M} = v_{x}$. Следовательно, $\vec{a} \perp \vec{v}_{M}$. Это значит, что $a_{n} = a = g$. Зная нормальное ускорение и скорость, найдем радиус кривизны траектории в точке М:
$r_{M} = v_{M}^{2}/a_{n} = (v_{0}^{2} / g) \cos^{2} \alpha = 20 м$.
В точке В (рис.) скорость
$v_{B} = \sqrt{v_{x}^{2} + v_{y}^{2}} = \sqrt{v_{0}^{2} \cos^{2} \alpha + (v_{0} \sin \alpha - g \tau)^{2}} = 20,8 м/с$. (3)
Нормальное ускорение
$a_{n} = v_{B}^{2} / r_{B} = g \sin \beta$.
Здесь $\sin \beta = v_{x}/v_{B} = v_{0} \cos \alpha / v_{B}$, где $\beta$ — угол между векторами ускорения и скорости. Тогда радиус кривизны траектории в точке В
$r_{B} = v_{B}^{2} /(gv_{0} \cos \alpha ) = 67 м$.
