2017-05-20
На гладкой горизонтальной плоскости движется небольшое тело массы $m$, привязанное к нерастяжимой нити, другой конец которой втягивают в отверстие О (рис.) с постоянной скоростью. Найти натяжение нити в зависимости от расстояния $r$ тела до отверстия, если при $r = r_{0}$ угловая скорость нити была равна $\omega_{0}$.
Решение:
Силы, действующие на массу m, показаны на рисунке. Так как $\vec{N} = m \vec{g}$, суммарный крутящий момент этих двух сил вокруг любой неподвижной точки должен быть равен нулю. Натяжение $T$, действующие на массу $m$, представляет собой центральную силу, которая всегда направлена к центру O. Следовательно, момент силы $T$ также равен нулю относительно точки O, и поэтому момент импульса частицы m сохраняется около 0.
Пусть угловая скорость частицы равна $\omega$, когда расстояние между отверстием и частицей $m$ равно $r$, а затем из закона сохранения импульса около точки 0:
$m( \omega_{0} r_{0}) r_{0} = m ( \omega r) r$,
или $\omega = \frac{ \omega_{0} r_{0}^{2}}{ r^{2}}$
Теперь, исходя из второго закона Ньютона для $m$,
$T = F = m \omega^{2} r$
Отсюда искомое натяжение;
$F = \frac{m \omega_{0}^{2} r_{0}^{4} r}{r^{4}} = \frac{m \omega_{0}^{2} r_{0}^{4}}{r^{3}}$