Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 3459
2017-05-20 
Частица движется по замкнутой траектории в центральном силовом поле, где ее потенциальная энергия $U = kr^{2}$, $k$ — положительная постоянная, $r$ — расстояние частицы до центра поля О. Найти массу частицы, если наименьшее расстояние ее до точки О равно $r_{1}$, а скорость на наибольшем расстоянии от этой точки — $v_{2}$.
Решение:
Если $\dot{r}$ - радиальная скорость частицы, то полная энергия частицы в любой момент времени равна
$\frac{1}{2} m \dot{r}^{2} + \frac{M^{2}}{2mr^{2}} + kr^{2} = E$ (1)
Где второе слагаемое есть кинетическая энергия углового движения вокруг центра 0. Тогда экстремальные значения $r$ определяются $\dot{r} = 0$ и решая полученное квадратное уравнение
$k( r^{2})^{2} - Er^{2} + \frac{M^{2}}{2m} = 0$
получаем
$r^{2} = \frac{E \pm \sqrt{ E^{2} - \frac{2M^{2} k}{m}}}{2k}$
Отсюда видно, что
$E = k (r_{1}^{2} + r_{2}^{2})$ (2)
где $r_{1}$ - минимальное расстояние от O, а $r_{2}$ - максимальное расстояние. Тогда
$\frac{1}{2} m_{2}^{2} + 2kr_{2}^{2} = k (r_{1}^{2} + r_{2}^{2})$
Следовательно, $m = \frac{2kr^{2}}{v_{2}^{2}}$
Примечание: формула. (1) может быть выведено из стандартного выражения для кинетической энергии и углового момента в полярных координатах:
$T = \frac{1}{2} m \dot{r}^{2} + \frac{1}{2} mr^{2} \dot{ \theta}^{2}$
$M$ = угловой момент = $mr^{2} \dot{ \theta}$
Частица движется по замкнутой траектории в центральном силовом поле, где ее потенциальная энергия $U = kr^{2}$, $k$ — положительная постоянная, $r$ — расстояние частицы до центра поля О. Найти массу частицы, если наименьшее расстояние ее до точки О равно $r_{1}$, а скорость на наибольшем расстоянии от этой точки — $v_{2}$.
Решение:
Если $\dot{r}$ - радиальная скорость частицы, то полная энергия частицы в любой момент времени равна
$\frac{1}{2} m \dot{r}^{2} + \frac{M^{2}}{2mr^{2}} + kr^{2} = E$ (1)
Где второе слагаемое есть кинетическая энергия углового движения вокруг центра 0. Тогда экстремальные значения $r$ определяются $\dot{r} = 0$ и решая полученное квадратное уравнение
$k( r^{2})^{2} - Er^{2} + \frac{M^{2}}{2m} = 0$
получаем
$r^{2} = \frac{E \pm \sqrt{ E^{2} - \frac{2M^{2} k}{m}}}{2k}$
Отсюда видно, что
$E = k (r_{1}^{2} + r_{2}^{2})$ (2)
где $r_{1}$ - минимальное расстояние от O, а $r_{2}$ - максимальное расстояние. Тогда
$\frac{1}{2} m_{2}^{2} + 2kr_{2}^{2} = k (r_{1}^{2} + r_{2}^{2})$
Следовательно, $m = \frac{2kr^{2}}{v_{2}^{2}}$
Примечание: формула. (1) может быть выведено из стандартного выражения для кинетической энергии и углового момента в полярных координатах:
$T = \frac{1}{2} m \dot{r}^{2} + \frac{1}{2} mr^{2} \dot{ \theta}^{2}$
$M$ = угловой момент = $mr^{2} \dot{ \theta}$
