ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2017-05-20   
Цепочка АВ длины $l$ находится в гладкой горизонтальной трубке так, что часть ее длины $h$ свободно свешивается, касаясь, своим концом В поверхности стола (рис.). В некоторый момент конец А цепочки отпустили. С какой скоростью выскочит из трубки этот конец цепочки?



Решение:



Пусть длина цепи внутри гладкой горизонтальной трубы в произвольный момент времени равна x. Из уравнения,

$m \vec{w} = \vec{F} + \vec{u} \frac{dm}{dt}$

При $\vec{u} = 0, \vec{F} \uparrow \uparrow \vec{w}$ для цепи внутри трубы

$\lambda x \omega = T$, где $\lambda = \frac{m}{l}$ (1)

Точно так же для свисающей части,

$\vec{u} = 0$

таким образом $mw = F$
Или $\lambda h w = \lambda hg - T$ (2)
Из (1) и (2),

$\lambda ( x + h) w = \lambda hg$ или, $(x + h) v \frac{dv}{ds} = hg$

Или, $(x+h)v \frac{dv}{(- dx)} = gh$,

[Поскольку длина цепи внутри трубки уменьшается со временем, $ds = - dx$.]

или, $vdv = - gh \frac{dx}{x+h}$

Интегрирование, $\int_{0}^{v} vdv = - gh \int_{(l-h)}^{0} \frac{dx}{x+h}$
или, $\frac{v^{2}}{2} = gh ln \left ( \frac{l}{h} \right )$ или $v = \sqrt{2gh ln \left ( \frac{l}{h} \right )}$