ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2017-05-20   
Снаряд, летящий со скоростью $v = 500 м/с$, разрывается на три одинаковые осколка так, что кинетическая энергия системы увеличивается в $\eta = 1,5$ раза. Какую максимальную скорость может иметь один из осколков?


Решение:


Из закона сохранения импульса снаряда непосредственно до и после ее разрыва

$3 \vec{v} = \vec{v}_{1} + \vec{v}_{2} + \vec{v}_{3}$ (1)

где $\vec{v}_{1}, \vec{v}_{2}$ и $\vec{v}_{3}$ - скорости его фрагментов.

Из закона сохранения энергии $3 \eta v^{2} = v_{1}^{2} + v_{2}^{2} + v_{3}^{2}$ (2)

Тогда $\tilde{ \vec{v}}_{i}$ или $\vec{v}_{iC} = \vec{v}_{i} - \vec{v}_{C} = \vec{v}_{i} - \vec{v}$ (3)

Где $\vec{v}_{C} = \vec{v} =$ скорость центра масс осколков. Очевидно, в системе центра масс импульс системы равен нулю, поэтому

$\tilde{ \vec{v}}_{1} + \tilde{ \vec{v}}_{2} + \tilde{ \vec{v}}_{3} = 0$ (4)

Используя (3) и (4) в (2), получим

$3 \eta v^{2} = ( \vec{v} + \tilde{ \vec{v}}_{1})^{2} + ( \vec{v} + \tilde{ \vec{v}}_{2})^{2} + ( \vec{v} - \tilde{ \vec{v}}_{1} - \tilde{ \vec{v}}_{2})^{2} = 3v^{2} + 2 \tilde v_{1}^{2} + 2 \tilde{v}_{2}^{2} + 2 \tilde{ \vec{v}}_{1} \cdot \tilde{ \vec{v}}_{2}$
Или, $2 \tilde{v}_{1}^{2} + 2 \tilde{v}_{1} \tilde{v}_{2} \cos \theta + 2 \tilde{v}_{2}^{2} + 3 (1 - \eta ) v^{2} = 0$ (5)

Если бы мы использовали $\tilde{ \vec{v}}_{1}^{2} =- \tilde{ \vec{v}}_{1} - \tilde{ \vec{v}}_{3}$, то уравнение 5 содержат $\tilde{v}_{3}$ вместо $\tilde{v}_{2}$ и так далее.

Если проблема симметрична, мы можем искать максимум любого. Очевидно, для каждого все будет одинаковым. Для $\tilde{v}_{1}$ в действительности в уравнении. (5)

$4 \tilde{v}_{2}^{2} \cos^{2} \theta \geq 8 (2 \tilde{v}_{2}^{2} + 3 (1 - \eta ) v^{2})$ или $6( \eta - 1) v^{2} \geq (4 - \cos^{2} \theta ) \tilde{v}_{2}^{2}$

Итак, $\tilde{v}_{2} \leq v \sqrt{ \frac{6 ( \eta - 1)}{4 - \cos^{2} \theta}}$ или $\tilde{v}_{2(max)} = \sqrt{2 ( \eta - 1)} v$

Следовательно, $v_{2(max)} = | \vec{v} + \tilde{ \vec{v}}_{2}| = v + \sqrt{2 ( \eta - 1)} v = v ( 1 + \sqrt{ 2 ( \eta -1)}) = 1 км/с$

Благодаря симметрии, $v_{1(max)} = v_{2(max)} = v_{3(max)} = v ( 1 + \sqrt{2 ( \eta -1)}) = км / с$