Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 3438
2017-05-20 
Шар, двигавшийся поступательно, испытал упругое соударение с другим, покоившимся, шаром той же массы. При соударении угол между прямой, проходящей через центры шаров, и направлением первоначального движения налетающего шара оказался равным $\alpha = 45^{ \circ}$. Считая шары гладкими, найти долю $\eta$ кинетической энергии налетающего шара, которая перешла в потенциальную энергию в момент наибольшей деформации.
Решение:
Если $(v_{1x}, v_{1y})$ - мгновенные составляющие скорости налетающего шара, а $(v_{2x}, v_{2y})$ - составляющие скорости ударенного шара в тот же момент, то, поскольку внешние импульсные силы (т.е. иные, чем взаимное взаимодействие шаров)
Имеем
$u \sin \alpha = v_{1y}, v_{2y} = 0$
$mu \cos \alpha = mv_{1x} + m v_{2x}$
Импульсная сила взаимного взаимодействия удовлетворяет
$\frac{d}{dt} (v_{1x}) = \frac{F}{m} = - \frac{d}{dt} (v_{2x})$
($F$ находится вдоль оси x, поскольку шарики являются гладкими. Таким образом, Y-компонент импульса не переносится.) Так как потеря кинетической энергии сохраняется как энергия деформации $D$, имеем
$D = \frac{1}{2} mu^{2} - \frac{1}{2} mv_{1}^{2} - \frac{1}{2} mv_{2}^{2} = \frac{1}{2} mu^{2} \cos^{2} \alpha - \frac{1}{2} mv_{1x}^{2} - \frac{1}{2} mv_{2x}^{2} = \frac{1}{2m} \left ( mu^{2} \cos6{2} \alpha - m^{2} v_{1x}^{2} - (mu \cos \alpha - mv_{1x}) \right ) = \frac{1}{2m} \left ( 2m^{2} u \cos \alpha v_{1x} - 2m^{2} v_{1x}^{2} \right ) = m ( v_{1x} u \cos \alpha - v_{1x}^{2}) = m \left ( \frac{u^{2} \cos^{2} \alpha}{4} - \left ( \frac{u \cos \alpha}{2} - v_{1x} \right )^{2} \right )$
Мы видим, что $D$ максимально, когда
$\frac{u \cos \alpha}{2} = v_{1x}$
а также $D_{max} = \frac{mu^{2} \cos^{2} \alpha}{4}$
Тогда $\eta = \frac{D_{max}}{ \frac{1}{2} mu^{2}} = \frac{1}{2} \cos^{2} \alpha = \frac{1}{4}$
Подставляя $\alpha = 45^{ \circ}$
Шар, двигавшийся поступательно, испытал упругое соударение с другим, покоившимся, шаром той же массы. При соударении угол между прямой, проходящей через центры шаров, и направлением первоначального движения налетающего шара оказался равным $\alpha = 45^{ \circ}$. Считая шары гладкими, найти долю $\eta$ кинетической энергии налетающего шара, которая перешла в потенциальную энергию в момент наибольшей деформации.
Решение:
Если $(v_{1x}, v_{1y})$ - мгновенные составляющие скорости налетающего шара, а $(v_{2x}, v_{2y})$ - составляющие скорости ударенного шара в тот же момент, то, поскольку внешние импульсные силы (т.е. иные, чем взаимное взаимодействие шаров)
Имеем
$u \sin \alpha = v_{1y}, v_{2y} = 0$
$mu \cos \alpha = mv_{1x} + m v_{2x}$
Импульсная сила взаимного взаимодействия удовлетворяет
$\frac{d}{dt} (v_{1x}) = \frac{F}{m} = - \frac{d}{dt} (v_{2x})$
($F$ находится вдоль оси x, поскольку шарики являются гладкими. Таким образом, Y-компонент импульса не переносится.) Так как потеря кинетической энергии сохраняется как энергия деформации $D$, имеем
$D = \frac{1}{2} mu^{2} - \frac{1}{2} mv_{1}^{2} - \frac{1}{2} mv_{2}^{2} = \frac{1}{2} mu^{2} \cos^{2} \alpha - \frac{1}{2} mv_{1x}^{2} - \frac{1}{2} mv_{2x}^{2} = \frac{1}{2m} \left ( mu^{2} \cos6{2} \alpha - m^{2} v_{1x}^{2} - (mu \cos \alpha - mv_{1x}) \right ) = \frac{1}{2m} \left ( 2m^{2} u \cos \alpha v_{1x} - 2m^{2} v_{1x}^{2} \right ) = m ( v_{1x} u \cos \alpha - v_{1x}^{2}) = m \left ( \frac{u^{2} \cos^{2} \alpha}{4} - \left ( \frac{u \cos \alpha}{2} - v_{1x} \right )^{2} \right )$
Мы видим, что $D$ максимально, когда
$\frac{u \cos \alpha}{2} = v_{1x}$
а также $D_{max} = \frac{mu^{2} \cos^{2} \alpha}{4}$
Тогда $\eta = \frac{D_{max}}{ \frac{1}{2} mu^{2}} = \frac{1}{2} \cos^{2} \alpha = \frac{1}{4}$
Подставляя $\alpha = 45^{ \circ}$
