ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2017-05-20   
Частица 1 испытала абсолютно упругое столкновение с покоившейся частицей 2. Найти отношение их масс, если:
а) столкновение лобовое и частицы разлетелись в противоположных направлениях с одинаковыми скоростями;
б) частицы разлетелись симметрично по отношению к первоначальному направлению движения частицы 1 и угол между их направлениями разлета $\theta = 60^{ \circ}$.


Решение:



(а) Когда частицы разлетаются в противоположном направлении с равными скоростями (скажем, $v$), то из консерватора импульса,

$m_{1}u + 0 = (m_{2} - m_{1})v$ (1)

Из закона сохранения кинетической энергии,

$\frac{1}{2} m_{1} u^{2} = \frac{1}{2} m_{1} v^{2} + \frac{1}{2} m_{2} v^{2}$
или, $m_{1} u^{2} = (m_{1} + m_{2})v^{2}$ (2)

Из уравнения (1) и (2),

$m_{1} u^{2} = (m_{1} + m_{2}) \frac{m_{1}^{2} u^{2}}{(m_{2} - m_{1})^{2}}$
или, $m_{2}^{2} - 3m_{1} m_{2} = 0$

Следовательно, $\frac{m_{1}}{m_{2}} = \frac{1}{3}$ as, $m_{2} \neq 0$

(б) Когда они разлетаются симметрично относительно начального направления движения с углом расходимости $\theta = 60^{ \prime}$,

Из закона сохранения импульса, в горизонтальном и вертикальном направлении,

$m_{1} u_{1} = m_{1} v_{1} \cos ( \theta /2) + m_{2} v_{2} \cos ( \theta /2)$ (1)
а также $m_{1}v_{1} \sin ( \theta /2) = m_{2}v_{2} \sin ( \theta /2)$
или, $m_{1}v_{1} = m_{2}v_{2}$ (2)

Из закона сохранения кинетической энергии,

$\frac{1}{2}m_{1} u_{1}^{2} + 0 = \frac{1}{2} m_{1}v_{1}^{2} + \frac{1}{2} m_{2}v_{2}^{2}$ (3)

Из (1) и (2),

$m_{1}u_{1} = \cos ( \theta / 2) \left ( m_{1} v_{1} + \frac{m_{1}v_{1}}{m_{2}} m_{2} \right ) = 2 m_{1} v_{1} \cos ( \theta /2)$

Так, $u_{1} = 2v_{1} \cos ( \theta/2)$ (4)
Из (2), (3) и (4) следует,

$4m_{1} \cos^{2} ( \theta /2) v_{1}^{2} = m_{1} v_{1}^{2} + \frac{m_{2} m_{1}^{2} v_{1}^{2}}{m_{2}^{2}}$
или $4 \cos^{2} ( \theta /2) = 1 + \frac{m_{1}}{m_{2}}$

Или, $\frac{m_{1}}{m_{2}} = 4 \cos^{2} \frac{ \theta}{2} - 1$
Подставляя значение $\theta$, получим: $\frac{m_{1}}{m_{2}} = 2$