Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 3436
2017-05-20 
Частица массы $m_{1}$ испытала абсолютно упругое столкновение с покоившейся частицей массы $m_{2}$. Какую относительную часть кинетической энергии потеряла налетающая частица, если:
а) она отскочила под прямым углом к своему первоначальному направлению движения;
б) столкновение лобовое?
Решение:
(a) Пусть начальная и конечная скорости $m_{1}$ и $m_{2}$ равны соответственно $\vec{u}_{1},\vec{u}_{2}$ и $\vec{v}, \vec{v}_{2}$. Тогда из закона сохранения импульса по горизонтальному и вертикальному направлениям получаем:
$m_{1} u_{1} = m_{2} v_{2} \cos \theta$ (1)
И $m_{1}v_{1} = m_{2} v_{2} \sin \theta$ (2)
Возводя в кваларт (1) и (2), а затем складывая их,
$m_{2}^{2} v_{2}^{2} = m_{1}^{2} (u_{1}^{2} + v_{1}^{2})$ (3)
Теперь, из сохранения кинетической энергии,
$\frac{1}{2} m_{1} u_{1}^{2} = \frac{1}{2} m_{2} v_{2}^{2} + \frac{1}{2} m_{1} v_{1}^{2}$ (3)
Или, $m( u_{1}^{2} - v_{2}^{2}) = m_{2} v_{2}^{2} = m_{2} \frac{m_{1}^{2}}{m_{2}^{2}} (u_{1}^{2} + v_{1}^{2})$ [Используя (3)]
или, $u_{1}^{2} \left ( 1 - \frac{m_{1}}{m_{2}} \right ) = v_{1}^{2} \left ( 1 + \frac{m_{1}}{m_{2}} \right )$
или, $\left ( \frac{v_{1}}{u_{1}} \right )^{2} = \frac{m_{2} - m_{1}}{m_{1} + m_{2}}$ (4)
Таким образом, доля кинетической энергии, уносимой частицей 1,
$= \frac{ \frac{1}{2} m_{1} u_{1}^{2} - \frac{1}{2} m_{1} v_{1}^{2}}{ \frac{1}{2} m_{1} u_{1}^{2}} = 1 - \frac{v_{1}^{2}}{u_{1}^{2}} = 1 - \frac{m_{2} - m_{1}}{m_{1} + m_{2}} = \frac{2m_{1}}{m_{1} + m_{2}}$ [Используя (4)] (5)
(б) Когда происходит столкновение,
$m_{1}u_{1} = m_{1}v_{1} + m_{2}v_{2}$ (1)
И из закона сохранения кинетической энергии,
$\frac{1}{2} m_{1} u_{1}^{2} = \frac{1}{2} m_{1}v_{1}^{2} + \frac{1}{2} m_{2}v_{2}^{2} = \frac{1}{2} m_{1} v_{1}^{2} + \frac{1}{2} m_{2} \left [ \frac{m_{1} (u_{1} - v_{1})^{2}}{m_{2}} \right ]^{2}$ [Используя (5)]
или, $v_{1} \left ( 1 + \frac{m_{1}}{m_{2}} \right ) = u_{1} \left ( \frac{m_{1}}{m_{2}} - 1 \right )$
или, $\frac{v_{1}}{u_{1}} = \frac{( m_{1} / m_{2} - 1)}{(1 + m_{1}/m_{2})}$ (6)
Потерянная доля кинетической энергии,
$= 1 - \frac{v_{1}^{2}}{ u_{1}^{2}} = 1 - \left ( \frac{m_{1} - m_{2}}{m_{1} + m_{2}} \right )^{2} = \frac{4m_{1}m_{2}}{(m_{1} + m_{2})^{2}}$ [Используя (6)]
Частица массы $m_{1}$ испытала абсолютно упругое столкновение с покоившейся частицей массы $m_{2}$. Какую относительную часть кинетической энергии потеряла налетающая частица, если:
а) она отскочила под прямым углом к своему первоначальному направлению движения;
б) столкновение лобовое?
Решение:
(a) Пусть начальная и конечная скорости $m_{1}$ и $m_{2}$ равны соответственно $\vec{u}_{1},\vec{u}_{2}$ и $\vec{v}, \vec{v}_{2}$. Тогда из закона сохранения импульса по горизонтальному и вертикальному направлениям получаем:
$m_{1} u_{1} = m_{2} v_{2} \cos \theta$ (1)
И $m_{1}v_{1} = m_{2} v_{2} \sin \theta$ (2)
Возводя в кваларт (1) и (2), а затем складывая их,
$m_{2}^{2} v_{2}^{2} = m_{1}^{2} (u_{1}^{2} + v_{1}^{2})$ (3)
Теперь, из сохранения кинетической энергии,
$\frac{1}{2} m_{1} u_{1}^{2} = \frac{1}{2} m_{2} v_{2}^{2} + \frac{1}{2} m_{1} v_{1}^{2}$ (3)
Или, $m( u_{1}^{2} - v_{2}^{2}) = m_{2} v_{2}^{2} = m_{2} \frac{m_{1}^{2}}{m_{2}^{2}} (u_{1}^{2} + v_{1}^{2})$ [Используя (3)]
или, $u_{1}^{2} \left ( 1 - \frac{m_{1}}{m_{2}} \right ) = v_{1}^{2} \left ( 1 + \frac{m_{1}}{m_{2}} \right )$
или, $\left ( \frac{v_{1}}{u_{1}} \right )^{2} = \frac{m_{2} - m_{1}}{m_{1} + m_{2}}$ (4)
Таким образом, доля кинетической энергии, уносимой частицей 1,
$= \frac{ \frac{1}{2} m_{1} u_{1}^{2} - \frac{1}{2} m_{1} v_{1}^{2}}{ \frac{1}{2} m_{1} u_{1}^{2}} = 1 - \frac{v_{1}^{2}}{u_{1}^{2}} = 1 - \frac{m_{2} - m_{1}}{m_{1} + m_{2}} = \frac{2m_{1}}{m_{1} + m_{2}}$ [Используя (4)] (5)
(б) Когда происходит столкновение,
$m_{1}u_{1} = m_{1}v_{1} + m_{2}v_{2}$ (1)
И из закона сохранения кинетической энергии,
$\frac{1}{2} m_{1} u_{1}^{2} = \frac{1}{2} m_{1}v_{1}^{2} + \frac{1}{2} m_{2}v_{2}^{2} = \frac{1}{2} m_{1} v_{1}^{2} + \frac{1}{2} m_{2} \left [ \frac{m_{1} (u_{1} - v_{1})^{2}}{m_{2}} \right ]^{2}$ [Используя (5)]
или, $v_{1} \left ( 1 + \frac{m_{1}}{m_{2}} \right ) = u_{1} \left ( \frac{m_{1}}{m_{2}} - 1 \right )$
или, $\frac{v_{1}}{u_{1}} = \frac{( m_{1} / m_{2} - 1)}{(1 + m_{1}/m_{2})}$ (6)
Потерянная доля кинетической энергии,
$= 1 - \frac{v_{1}^{2}}{ u_{1}^{2}} = 1 - \left ( \frac{m_{1} - m_{2}}{m_{1} + m_{2}} \right )^{2} = \frac{4m_{1}m_{2}}{(m_{1} + m_{2})^{2}}$ [Используя (6)]
