Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 3432
2017-05-20 
Небольшая шайба массы $m$ без начальной скорости соскальзывает с гладкой горки высотой $h$ и попадает на доску массы $M$, лежащую у основания горки на гладкой горизонтальной плоскости (рис.). Вследствие трения между шайбой и доской шайба тормозится и, начиная с некоторого момента, движется вместе с доской как единое целое.
1) Найти суммарную работу сил трения в этом процессе.
2) Можно ли утверждать, что полученный результат не зависит от системы отсчета?
Решение:
(a) Когда шайба скользит и доходит до доски, он имеет скорость, равную $v = \sqrt{2gh}$. Из-за трения между диском и доской шайба замедляется, и через некоторое время шайба перемещается вместе с доской со скоростью $v^{ \prime}$ (скажем).
Из закона сохранения импульса для системы (шайба + доска) вдоль горизонтали вправо:
$mv = (m + M) v^{ \prime}$ или $v^{ \prime} = \frac{mv}{M+m}$
Теперь из уравнения полной механической энергии системы:
$\frac{1}{2} v^{ \prime 2} - \frac{1}{2} mv^{2} = A_{fr}$
или, $\frac{1}{2} (M + m) \frac{m^{2}v^{2}}{(m+M)^{2}} - \frac{1}{2} = A_{fr}$
таким образом, $\frac{1}{2} v^{2} \left [ \frac{m^{2}}{M+m} - m \right ] = A_{fr}$
Отсюда следует, что $A_{fr} = - \left ( \frac{mM}{m+M} \right ) gh = - \mu gh$
(Где $\mu = \frac{mM}{m+M}=$ приведенная масса)
(б) Мы смотрим на задачу из системы отсчета, в которой доска перемещается (вместе с диском на нем) вправо со скоростью $u$. Тогда в этом системе отсчета скорость шайбы, когда он только попадает на доску, закон сложения скоростей, $\vec{v} = u + \frac{m}{m+M} \sqrt{2gh}$. Подобным же образом общая скорость доски и диска, когда они перемещаются вместе, равна
$\vec{v}^{ \prime} = u + \frac{m}{m+M} \sqrt{2gh}$.
Тогда, как и выше, $\bar{A}_{fr} = \frac{1}{2} (m + M) \vec{v}^{2} - \frac{1}{2} m \vec{v}^{2} - \frac{1}{2} M u^{2} = \frac{1}{2} (m+M) \left ( u^{2} + \frac{2m}{m+M} u \sqrt{2gh} + \frac{m^{2}}{(m+M)^{2}} 2gh \right ) \frac{1}{2} (m+M)u^{2} - \frac{1}{2} m2u \sqrt{2gh} - mgh$
Мы видим, что $\bar{A}_{fr}$ не зависит от $u$ и на самом деле справедливо - $\mu gh$, как в (a). Таким образом, полученный результат не зависит от выбора системы отсчета.
Обратите внимание, однако, что правильнее будет применять формулу «сохранения энергии» в системе отсчета, в которой движется два тела. Энергия, двух тел, не является незначительной в этой системе координат. См. также задачу 3433.
Небольшая шайба массы $m$ без начальной скорости соскальзывает с гладкой горки высотой $h$ и попадает на доску массы $M$, лежащую у основания горки на гладкой горизонтальной плоскости (рис.). Вследствие трения между шайбой и доской шайба тормозится и, начиная с некоторого момента, движется вместе с доской как единое целое.
1) Найти суммарную работу сил трения в этом процессе.
2) Можно ли утверждать, что полученный результат не зависит от системы отсчета?
Решение:
(a) Когда шайба скользит и доходит до доски, он имеет скорость, равную $v = \sqrt{2gh}$. Из-за трения между диском и доской шайба замедляется, и через некоторое время шайба перемещается вместе с доской со скоростью $v^{ \prime}$ (скажем).
Из закона сохранения импульса для системы (шайба + доска) вдоль горизонтали вправо:
$mv = (m + M) v^{ \prime}$ или $v^{ \prime} = \frac{mv}{M+m}$
Теперь из уравнения полной механической энергии системы:
$\frac{1}{2} v^{ \prime 2} - \frac{1}{2} mv^{2} = A_{fr}$
или, $\frac{1}{2} (M + m) \frac{m^{2}v^{2}}{(m+M)^{2}} - \frac{1}{2} = A_{fr}$
таким образом, $\frac{1}{2} v^{2} \left [ \frac{m^{2}}{M+m} - m \right ] = A_{fr}$
Отсюда следует, что $A_{fr} = - \left ( \frac{mM}{m+M} \right ) gh = - \mu gh$
(Где $\mu = \frac{mM}{m+M}=$ приведенная масса)
(б) Мы смотрим на задачу из системы отсчета, в которой доска перемещается (вместе с диском на нем) вправо со скоростью $u$. Тогда в этом системе отсчета скорость шайбы, когда он только попадает на доску, закон сложения скоростей, $\vec{v} = u + \frac{m}{m+M} \sqrt{2gh}$. Подобным же образом общая скорость доски и диска, когда они перемещаются вместе, равна
$\vec{v}^{ \prime} = u + \frac{m}{m+M} \sqrt{2gh}$.
Тогда, как и выше, $\bar{A}_{fr} = \frac{1}{2} (m + M) \vec{v}^{2} - \frac{1}{2} m \vec{v}^{2} - \frac{1}{2} M u^{2} = \frac{1}{2} (m+M) \left ( u^{2} + \frac{2m}{m+M} u \sqrt{2gh} + \frac{m^{2}}{(m+M)^{2}} 2gh \right ) \frac{1}{2} (m+M)u^{2} - \frac{1}{2} m2u \sqrt{2gh} - mgh$
Мы видим, что $\bar{A}_{fr}$ не зависит от $u$ и на самом деле справедливо - $\mu gh$, как в (a). Таким образом, полученный результат не зависит от выбора системы отсчета.
Обратите внимание, однако, что правильнее будет применять формулу «сохранения энергии» в системе отсчета, в которой движется два тела. Энергия, двух тел, не является незначительной в этой системе координат. См. также задачу 3433.
