Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 3421
2017-05-20 
Система состоит из двух одинаковых кубиков, каждый массы $m$, между которыми находится сжатая невесомая пружина жесткости $k$ (рис.). Кубики связаны нитью, которую в некоторый момент пережигают. Найти:
а) при каких значениях $\Delta l$ — начальном сжатии пружины — нижний кубик подскочит после пережигания нити;
б) на какую высоту $h$ поднимется центр тяжести этой системы, если сжатие пружины в начальном положении $\Delta l = 7 mg/ k$.
Решение:
(a) Начальное сжатие пружины $\Delta l$ должно быть таким, чтобы после перегорания нити верхний куб поднимался до высоты, создающей натяжение пружины, которое по меньшей мере равно весу нижнего куба. На самом деле, пружина будет сначала увеличиваться из сжатого состояние до естественной длины, а затем получать удлиненный больше естественную длины. Пусть $l$ Максимальное удлинение при этих условиях.
Тогда $kl = mg$ (1)
Теперь, из закона сохранения энергии,
$\frac{1}{2} k \Delta l^{2} = mg ( \Delta l + l) + \frac{1}{2} kl^{2}$ (2)
(Так как при максимальном удлинении пружины скорость верхнего куба становится равной нулю) Из (1) и (2),
$\Delta l^{2} - \frac{2mg \Delta l}{k} - \frac{3m^{2}g^{2}}{k^{2}} = 0$ или, $\Delta l = \frac{3mg}{k}, \frac{-mg}{k}$
Поэтому приемлемое решение $\Delta l$ equals $\frac{3mg}{k}$
(б) Пусть $v$ - скорость верхнего куба в положении (скажем, в точке C), когда нижний блок отрывается от пола, тогда по закону сохранения энергии.
$\frac{1}{2} mv^{2} = \frac{1}{2} k ( \Delta l^{2} - l^{2}) - mg (l + \Delta l)$
(где $l = mg/k$ и $\Delta l = 7 \frac{mg}{k}$)
или, $v^{2} = 32 \frac{mg^{2}}{k}$ (2)
В позиции С - скорость центра масс; $v_{C} = \frac{mv + 0}{2m} = \frac{v}{2}$ Пусть центр масс системы (пружина + два куба) далее поднимается до $\Delta y_{C2}$. Из закона сохранения энергии,
$\frac{1}{2} (2m) v_{C}^{2} = (2m) g \Delta r_{C2}$
или, $\Delta y_{C2} = \frac{v_{C}^{2}}{2g} = \frac{v^{2}}{8g} = \frac{4mg}{k}$
Но, до положения C, центр масс системы уже поднялась,
$\Delta y_{C1} = \frac{( \Delta l + l) m + 0}{2m} = \frac{4mg}{k}$
Следовательно, чистое смещение центра масс системы, в верхнем направлении
$\Delta y_{C} = \Delta y_{C1} + \Delta y_{C2} = \frac{8mg}{k}$
Система состоит из двух одинаковых кубиков, каждый массы $m$, между которыми находится сжатая невесомая пружина жесткости $k$ (рис.). Кубики связаны нитью, которую в некоторый момент пережигают. Найти:
а) при каких значениях $\Delta l$ — начальном сжатии пружины — нижний кубик подскочит после пережигания нити;
б) на какую высоту $h$ поднимется центр тяжести этой системы, если сжатие пружины в начальном положении $\Delta l = 7 mg/ k$.
Решение:
(a) Начальное сжатие пружины $\Delta l$ должно быть таким, чтобы после перегорания нити верхний куб поднимался до высоты, создающей натяжение пружины, которое по меньшей мере равно весу нижнего куба. На самом деле, пружина будет сначала увеличиваться из сжатого состояние до естественной длины, а затем получать удлиненный больше естественную длины. Пусть $l$ Максимальное удлинение при этих условиях.
Тогда $kl = mg$ (1)
Теперь, из закона сохранения энергии,
$\frac{1}{2} k \Delta l^{2} = mg ( \Delta l + l) + \frac{1}{2} kl^{2}$ (2)
(Так как при максимальном удлинении пружины скорость верхнего куба становится равной нулю) Из (1) и (2),
$\Delta l^{2} - \frac{2mg \Delta l}{k} - \frac{3m^{2}g^{2}}{k^{2}} = 0$ или, $\Delta l = \frac{3mg}{k}, \frac{-mg}{k}$
Поэтому приемлемое решение $\Delta l$ equals $\frac{3mg}{k}$
(б) Пусть $v$ - скорость верхнего куба в положении (скажем, в точке C), когда нижний блок отрывается от пола, тогда по закону сохранения энергии.
$\frac{1}{2} mv^{2} = \frac{1}{2} k ( \Delta l^{2} - l^{2}) - mg (l + \Delta l)$
(где $l = mg/k$ и $\Delta l = 7 \frac{mg}{k}$)
или, $v^{2} = 32 \frac{mg^{2}}{k}$ (2)
В позиции С - скорость центра масс; $v_{C} = \frac{mv + 0}{2m} = \frac{v}{2}$ Пусть центр масс системы (пружина + два куба) далее поднимается до $\Delta y_{C2}$. Из закона сохранения энергии,
$\frac{1}{2} (2m) v_{C}^{2} = (2m) g \Delta r_{C2}$
или, $\Delta y_{C2} = \frac{v_{C}^{2}}{2g} = \frac{v^{2}}{8g} = \frac{4mg}{k}$
Но, до положения C, центр масс системы уже поднялась,
$\Delta y_{C1} = \frac{( \Delta l + l) m + 0}{2m} = \frac{4mg}{k}$
Следовательно, чистое смещение центра масс системы, в верхнем направлении
$\Delta y_{C} = \Delta y_{C1} + \Delta y_{C2} = \frac{8mg}{k}$
