ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2017-05-20   
В K-системе отсчета вдоль оси $x$ движутся две частицы: одна массы $m_{1}$ — со скоростью $\vec{v}_{1}$, другая массы $m_{2}$ — со скоростью $\vec{v}_{2}$. Найти:
а) скорость $\vec{V} K^{ \prime}$ - системы отсчета, в которой суммарная кинетическая энергия этих частиц минимальна;
б) суммарную кинетическую энергию этих частиц в $K^{ \prime}$ - системе.


Решение:


(a) Общая кинетическая энергия в системе отсчета $K^{ \prime}$ равна

$T = \frac{1}{2} m_{1} ( \vec{v}_{1} - \vec{V} )^{2} + \frac{1}{2} m_{2} ( \vec{v}_{2} - \vec{V})^{2}$

она минимальна по отношению к изменению $\vec{V}$, тогда

$\frac{ \partial T^{ \prime}}{ \partial \vec{V}} = 0$, т. Е. $m_{1} ( \vec{v}_{1}- \vec{V})^{2} + m_{2} ( \vec{v}_{2} - \vec{V}) = 0$
Или $\vec{V} = \frac{m_{1} \vec{v}_{1} + m_{2} \vec{V}_{2}}{m_{1} + m_{2}} = \vec{v}_{c}$.

Следовательно, это система отсчета центра масс в которой кинетическая энергия системы минимальна.

(б) Линейный импульс частицы 1 в системе $K^{ \prime}$ или C

$\tilde{ \vec{p}}_{1} = m_{1} ( \vec{v}_{1} - \vec{v}_{c}) = \frac{m_{1}m_{2}}{m_{1} + m_{2}} ( \vec{v}_{1} - \vec{v}_{2})$
или $\tilde{ \vec{p}}_{1} = \mu ( \vec{v}_{1} - \vec{v}_{2})$, где, $\mu = \frac{m_{1}m_{2}}{m_{1} + m_{2}} = $ приведенная масса

Аналогичным образом, $\tilde{ \vec{p}}_{2} = \mu ( \vec{v}_{2} - \vec{v}_{1})$
Таким образом, $| \tilde{ \vec{p}}_{1} | = | \tilde{ \vec{p}}_{2} | = \tilde{p} = \mu v_{rel}$ где, $v_{rel} = | \vec{v}_{1} - \vec{v}_{2}|$ (3)
Полная кинетическая энергия системы в С-системе равна

$\tilde{T} = \tilde{T}_{1} + \tilde{T}_{2} = \frac{ \tilde{p}^{2}}{2m_{1}} + \frac{ \tilde{p}^{2}}{2m_{2}} = \frac{ \tilde{p}^{2}}{2 \mu}$

Отсюда $\tilde{T} = \frac{1}{2} \mu v_{rel}^{2} = \frac{1}{2} \mu | \vec{v}_{1} - \vec{v}_{2}|^{2}$