ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2017-05-20   
Гладкий легкий горизонтальный стержень АВ может вращаться вокруг вертикальной оси, проходящей через его конец А. На стержне находится небольшая муфточка массы $m$, соединенная невесомой пружинкой длины $l_{0}$ с концом А. Жесткость пружинки равна $k$. Какую работу надо совершить, чтобы эту систему медленно раскрутить до угловой скорости $\omega$?


Решение:


Пусть деформация в пружине равна $\Delta l$, когда стержень АВ достигает угловой скорости $\omega$. Из второго закона Ньютона в проекционной форме $F_{n} = mw_{n}$.
$k \Delta l = m \omega^{2} (l_{0} + \Delta l)$ или, $\Delta l = \frac{m \omega^{2} l_{0}}{k - m \omega^{2}}$

Из уравнения энергии имеем $A_{ext}= \frac{1}{2} mv^{2} + \frac{1}{2} mv^{2} + \frac{1}{2} k \Delta l^{2} = \frac{1}{2} m \omega^{2} (l_{0} + \Delta l)^{2} + \frac{1}{2} k \Delta l^{2} = \frac{1}{2} m \omega^{2} \left ( l_{0} + \frac{m \omega^{2} l_{0}}{k - m \omega^{2}} \right )^{2} + \frac{1}{2} k \left ( \frac{m \omega^{2} l_{0}^{2}}{k - m \omega^{2}} \right )^[2]$

Решая, $A_{ext} = \frac{k}{2} \frac{l_{0}^{2} \eta ( 1 + \eta)}{(1 - \eta)^{2}}$, где $\eta = \frac{m \omega^{2}}{k}$