Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 3401
2017-05-20 
Имеются два стационарных силовых поля: $\vec{F} = ay \vec{i}$ и $\vec{F} = ax \vec{i} + by \vec{j}$, где $\vec{i}, \vec{j}$ — орты осей $x$ и $y$, $a$ и $b$ — постоянные. Выяснить, являются ли эти поля потенциальными.
Решение:
Вычислим работу сил каждого поля по пути из некоторой точки $1 (x_{1}, y_{1})$ в другую определенную точку $2 (x_{2}, y_{2})$
$(i) dA = \vec{F} \cdot d \vec{r} = ay \vec{i} \cdot d \vec{r} = ay dx$ или, $A = a \int_{x_{1}}^{x_{2}} ydx$
$(ii) dA = \vec{F} \cdot d \vec{r} = (a x \vec{i} + by \vec{j}) \cdot d \vec{r} = axdx + by dy$
Следовательно, $A = \int_{x_{1}}^{ x_{2}} ax dx + \int_{y_{1}}^{y_{2}} by dy$
В первом случае интеграл зависит от функции типа $y(x)$, т.е. от формы траектории. Следовательно, первое силовое поле не является потенциальным. Во втором случае оба интеграла не зависят от формы пути. Они определяются только координатой начальной и конечной точек пути, поэтому второе силовое поле потенциально.
Имеются два стационарных силовых поля: $\vec{F} = ay \vec{i}$ и $\vec{F} = ax \vec{i} + by \vec{j}$, где $\vec{i}, \vec{j}$ — орты осей $x$ и $y$, $a$ и $b$ — постоянные. Выяснить, являются ли эти поля потенциальными.
Решение:
Вычислим работу сил каждого поля по пути из некоторой точки $1 (x_{1}, y_{1})$ в другую определенную точку $2 (x_{2}, y_{2})$
$(i) dA = \vec{F} \cdot d \vec{r} = ay \vec{i} \cdot d \vec{r} = ay dx$ или, $A = a \int_{x_{1}}^{x_{2}} ydx$
$(ii) dA = \vec{F} \cdot d \vec{r} = (a x \vec{i} + by \vec{j}) \cdot d \vec{r} = axdx + by dy$
Следовательно, $A = \int_{x_{1}}^{ x_{2}} ax dx + \int_{y_{1}}^{y_{2}} by dy$
В первом случае интеграл зависит от функции типа $y(x)$, т.е. от формы траектории. Следовательно, первое силовое поле не является потенциальным. Во втором случае оба интеграла не зависят от формы пути. Они определяются только координатой начальной и конечной точек пути, поэтому второе силовое поле потенциально.
