ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2017-05-20   
Потенциальная энергия частицы в некотором двумерном силовом поле имеет вид $U = \alpha x^{2} + \beta y^{2}$, где $\alpha$ и $\beta$ — положительные постоянные, не равные друг другу. Выяснить:
а) является ли это поле центральным;
б) какую форму имеют эквипотенциальные поверхности, а также поверхности, для которых модуль вектора силы $F = const$.


Решение:


(a) Имеем
$F_{x} = - \frac{ \partial U}{ \partial x} = - 2 \alpha x$ и $F_{y} = \frac{- \partial U}{ \partial y} = -2 \beta y$
Итак, $\vec{F} = 2 \alpha x \vec{i} - 2 \beta y \vec{i}$ и, $F = 2 \sqrt{ \alpha^{2} x^{2} + \beta^{2} y^{2}}$ (1)

Для центральной силы $\vec{r} \times \vec{F} = 0$

Здесь $\vec{r} \times \vec{F} = (x \vec{i} + y \vec{j}) \times (-2 \alpha x \vec{i} - 2 \beta y \vec{j}) = - 2 \beta xy \vec{k} - 2 \alpha xy ( \vec{k}) \neq 0$

Следовательно, сила не является центральной силой.

(б) Поскольку $U = \alpha x^{2} + \beta y^{2}$
То, $F_{x} = \frac{ \partial U}{ \partial x} = - 2 \alpha x$ и $F_{y} = \frac{ - \partial U}{ \partial y} = - 2 \beta y$.

Итак, $F = \sqrt{ F_{x}^{2} + F_{y}^{2}} = \sqrt{ 4 \alpha^{2} x^{2} + 4 \beta^{2} y^{2}}$

В соответствии с условием задачи

$F = 2 \sqrt{ \alpha^{2} x^{2} + \beta^{2} y^{2}} = C$ (константа)
или, $\alpha^{2}x^{2} + \beta^{2}y^{2} = \frac{C^{2}}{2}$
или, $\frac{x^{2}}{ \beta^{2}} + \frac{y^{2}}{ \alpha^{2}} = \frac{C^{2}}{2 \alpha^{2} \beta^{2}} = k$

Поэтому поверхности, для которых $F$ является постоянной, являются эллипсами.
Для эквипотенциальной поверхности $U$ постоянна
Таким образом, $\alpha x^{2} + \beta y^{2} = C_{0}$ (константа)
или, $\frac{x^{2}}{ \sqrt{ \beta^{2}}} + \frac{y^{2}}{ \sqrt{ \alpha^{2}}} = \frac{C_{0}}{ \alpha \beta} = K_{0}$ (константа)

Следовательно, эквипотенциальная поверхность также является эллипсом.