Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 3399
2017-05-20 
Потенциальная энергия частицы в некотором поле имеет вид $U = a/r^{2} - b/r$, где $a$ и $b$ — положительные постоянные, $r$—расстояние от центра поля. Найти:
а) значение $r_{0}$, соответствующее равновесному положению частицы; выяснить, устойчиво ли это положение;
б) максимальное значение силы притяжения; изобразить графики зависимостей $U(r)$ и $F_{r}(r)$ — проекции силы на радиус-вектор $\vec{r}$.
Решение:
Из уравнения $F_{r} = - \frac{dU}{dr}$ получаем $F_{r} = \left [ - \frac{2a}{r^{3}} + \frac{b}{r^{2}} \right ]$
(a) Имеем при $r = r_{0}$, частица находится в равновесном положении, т.е. $F_{r} = 0$, так что $r_{0} = \frac{2a}{b}$
Чтобы проверить, является ли положение устойчивым (положение устойчивого равновесия), должно выполняться условие
$\frac{d^{2}U}{dr^{2}} > 0$
Имеем $\frac{d^{2}U}{dr^{2}} = \left [ \frac{6a}{r^{4}} - \frac{2b}{r^{3}} \right ]$
Подставляя значение $r = r_{0} = \frac{2a}{b}$, получаем $\frac{d^{2}U}{dr^{2}} = \frac{b^{4}}{8a^{3}}$, (Поскольку $a$ и $b$ - положительные постоянные)
Итак, $\frac{d^{2}U}{dr^{2}} = \frac{b^{2}}{8a^{3}} > 0$,
Что указывает на то, что потенциальная энергия системы минимальна, следовательно, это положение устойчиво.
(б) Имеем $F_{r} = - \frac{dU}{dr} = \left [ - \frac{2a}{r^{3}} + \frac{b}{r^{2}} \right ]$
Для того чтобы $F$ был максимальным, $\frac{dF_{r}}{dr} = 0$
Итак, $r = \frac{3a}{b}$ и $F_{r(max)} = \frac{-b^{3}}{27a^{2}}$,
Так как $F_{r}$ отрицательно, сила притягивающая.
Потенциальная энергия частицы в некотором поле имеет вид $U = a/r^{2} - b/r$, где $a$ и $b$ — положительные постоянные, $r$—расстояние от центра поля. Найти:
а) значение $r_{0}$, соответствующее равновесному положению частицы; выяснить, устойчиво ли это положение;
б) максимальное значение силы притяжения; изобразить графики зависимостей $U(r)$ и $F_{r}(r)$ — проекции силы на радиус-вектор $\vec{r}$.
Решение:
Из уравнения $F_{r} = - \frac{dU}{dr}$ получаем $F_{r} = \left [ - \frac{2a}{r^{3}} + \frac{b}{r^{2}} \right ]$
(a) Имеем при $r = r_{0}$, частица находится в равновесном положении, т.е. $F_{r} = 0$, так что $r_{0} = \frac{2a}{b}$
Чтобы проверить, является ли положение устойчивым (положение устойчивого равновесия), должно выполняться условие
$\frac{d^{2}U}{dr^{2}} > 0$
Имеем $\frac{d^{2}U}{dr^{2}} = \left [ \frac{6a}{r^{4}} - \frac{2b}{r^{3}} \right ]$
Подставляя значение $r = r_{0} = \frac{2a}{b}$, получаем $\frac{d^{2}U}{dr^{2}} = \frac{b^{4}}{8a^{3}}$, (Поскольку $a$ и $b$ - положительные постоянные)
Итак, $\frac{d^{2}U}{dr^{2}} = \frac{b^{2}}{8a^{3}} > 0$,
Что указывает на то, что потенциальная энергия системы минимальна, следовательно, это положение устойчиво.
(б) Имеем $F_{r} = - \frac{dU}{dr} = \left [ - \frac{2a}{r^{3}} + \frac{b}{r^{2}} \right ]$
Для того чтобы $F$ был максимальным, $\frac{dF_{r}}{dr} = 0$
Итак, $r = \frac{3a}{b}$ и $F_{r(max)} = \frac{-b^{3}}{27a^{2}}$,
Так как $F_{r}$ отрицательно, сила притягивающая.
